Suma zdarzeń

Suma zdarzeń – zdarzenie losowe, które zachodzi wtedy, gdy zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń je tworzących.

Definicja formalna

Niech $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Sumą zdarzeń $A_i\in ℱ,i\in I$ nazywamy zdarzenie $\bigcup _{i\in I}{A}_i.$

W przypadku skończonej liczby zdarzeń $A_1,A_2,\dots A_n$ ich sumę zapisujemy jako $A_1\cup A_2\dots A_n.$

Przykład

Niech zbiorem zdarzeń elementarnych będzie zbiór wszystkich wyników rzutu kostką. Sumą zdarzeń „wypadła parzysta liczba oczek”, tzn. $A=\{2,4,6\}$ oraz „wypadła liczba oczek będąca liczbą pierwszą”, tzn. $B=\{2,3,5\}$ jest zdarzenie: $A\cup B=\{2,3,4,5,6\}.$

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Jeżeli $P$ jest prawdopodobieństwem określonym na pewnej przestrzeni probabilistycznej, $A$ i $B$ zdarzeniami tej przestrzeni, to prawdziwy jest wzór:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Dla trzech zdarzeń $A,B,C:$

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C).$

Oba wzory są szczególnym przypadkiem tak zwanego wzoru włączeń i wyłączeń, który dla $n\in \mathbb{N}$ i zdarzeń $A_1,A_2,\dots ,A_n$ jest postaci:

$P(A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n)$

$=P(A_1)+P(A_2)+\dots +P(A_n)-P(A_1\cap A_2)-\dots +P(A_1\cap A_2\cap A_3)+\dots -P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)\dots$

Kropki oznaczają wszystkie możliwe iloczyny zdarzeń po dwa, trzy i tak dalej (do zrozumienia jak korzystać z tego wzoru, przydatna jest analiza użycia w przypadku trzech zdarzeń).

Zobacz też

• różnica zdarzeń