Miara Dieudonnégo

Miara Dieudonnégo – przykład miary zewnętrznie regularnej, określonej na σ-ciele zbiorów borelowskich przestrzeni ${\omega }_1,$ tj. przestrzeni wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych z topologią porządkową. Nazwa tej miary została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Jeana Dieudonnégo.

Konstrukcja

Na zbiorze (liczbie porządkowej) ${\omega }_1$ można rozważać topologię porządkową. Można wykazać, że σ-ciało Bor(ω₁) borelowskich podzbiorów przestrzeni ω₁ daje się opisać w następujący sposób:

$\text{Bor}({\omega }_1)=\{A\subseteq {\omega }_1:(\mathrm{\exists }C\in \mathrm{Club}({\omega }_1))(C\subseteq A\vee C\cap A=\varnothing )\},$

gdzie Club(ω₁) oznacza zbiór wszystkich clubów na liczbie kardynalnej ${\omega }_1,$ tj. rodzinę jej domkniętych i nieograniczonych podzbiorów.

Funkcja

$\mu :\text{Bor}({\omega }_1)\to [0,\mathrm{\infty }]$

dana wzorem:

$\mu (A)=1,$ gdy istnieje taki zbiór C ∈ Club(ω₁), że C ⊆ A, oraz

$\mu (A)=0,$ w przeciwnym wypadku,

dla A ∈ Bor(ω₁), jest miarą. Miarę tę nazywa się miarą Dieudonnégo.

Własności

• $\mu ({\omega }_1)=1,$ więc miara Dieudonnégo jest miarą probablilistyczną; miara ta przyjmuje tylko dwie wartości: 0 i 1.
• Miara Dieudonnégo jest zewnętrznie regularna.
• Miara Dieudonnégo jest zupełna.
• Przy założeniu AD, każdy podzbiór ω₁ jest mierzalny w sensie miary Dieudonnégo (czyli każdy podzbiór ${\omega }_1$ albo jest niestacjonarny albo zawiera zbiór domknięty nieograniczony), tj. pod tym założeniem ω₁ jest liczbą mierzalną. Jednocześnie istnieje podzbiór produktu ${\omega }_1\times {\omega }_1$ który nie jest mierzalny względem odpowiedniej miary produktowej. (To ostatnie stwierdzenie jest twierdzeniem w ZF + DC.)