Miara zupełna

Miara zupełna – miara $\mu$ określona na przestrzeni mierzalnej $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ jest zupełna, gdy podzbiory zbiorów miary zero są mierzalne (a więc i w konsekwencji również miary zero). Innymi słowy, jeśli $A\in 𝒜,$ $\mu (A)=0$ i $E\subseteq A,$ to $E\in 𝒜.$

Twierdzenie o rozszerzeniu miary mówi, że dla każdej miary $\mu$ określonej na przestrzeni mierzalnej $(\mathrm{\Omega },𝒜)$ istnieje taka miara zupełna $\nu$ określona na najmniejszym σ-ciele zawierającym $𝒜$ i wszystkie podzbiory zbiorów miary $\mu$-zero, która pokrywa się z $\mu$ na $𝒜.$

Przykłady

• Miara Lebesgue’a i miara Dieudonnégo są zupełne.
• Przykładem miary, która nie jest zupełna jest miara Lebesgue’a obcięta do rodziny zbiorów borelowskich na prostej.
• Miara produktowa miar zupełnych nie musi być miarą zupełną: jeżeli $V$ jest niemierzalnym podzbiorem prostej (względem miary Lebesgue’a $l_1$), to zbiór $\{1\}\times V$ zawarty jest w zbiorze $\{1\}\times ℝ$ dla którego $(l_1\otimes l_1)(\{1\}\times ℝ)=0\cdot \mathrm{\infty }=0,$ ale sam zbiór $\{1\}\times V$ nie jest $(l_1\otimes l_1)$-mierzalny.

Zobacz też

• przestrzeń metryczna
• przestrzeń zupełna
• zupełność