Liczba Liouville’a

Liczba Liouville’a – liczba rzeczywista $x$ o takiej własności, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ istnieją liczby całkowite $p$ oraz $q>1,$ takie że:

$0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}.$

Intuicyjnie oznacza to, że dowolną liczbę Liouville’a można „dobrze” aproksymować liczbami wymiernymi. Liczby Liouville’a noszą swą nazwę na cześć Josepha Liouville’a, który wprowadził je w roku 1844 i pokazał, że są one liczbami przestępnymi. Był to pierwszy dowód istnienia liczb przestępnych, co więcej konstruktywny, czyli podający algorytm ich uzyskiwania.

Przykłady. Stała Liouville’a

Liczby postaci

$c=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}^{-j!},$

gdzie $a$ jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, są liczbami Liouville’a. Dla dowodu określmy $p_n$ i $q_n$ następująco:

$p_n=\sum _{j=1}^n{a}^{(n!-j!)},q_n=a^{n!}.$

Wówczas dla wszystkich $n$ naturalnych

$|c-p_n/q_n|=\sum _{j=n+1}^{\mathrm{\infty }}{a}^{-j!}=a^{-(n+1)!}+a^{-(n+2)!}+\dots <a^{-(n!n)}=(1/q_n{)}^n,$

co spełnia warunki definicji.

Liczba

$c=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-j!}=0,110001000000000000000001000\dots$

nosi nazwę stałej Liouville’a.

Podstawowe własności

Równoważną definicję liczby Liouville’a otrzymamy, przyjmując, że dla dowolnego $n$ istnieje nieskończenie wiele par liczb całkowitych $(p,q),$ dla których spełniona jest powyższa nierówność.

Niewymierność liczb Liouville’a

Nietrudno wykazać, że jeśli $x$ jest liczbą Liouville’a, to jest liczbą niewymierną. Gdyby tak nie było, istniałyby liczby całkowite $c$ i $d,$ dla których mielibyśmy $x=c/d.$ Niech $n$ oznacza taką liczbę naturalną, że $2^{n-1}>d.$ Wówczas, jeśli $p$ i $q$ są dowolnymi liczbami całkowitymi, takimi że $q>1$ i $p/q\ne c/d,$ to

$|x-\frac{p}{q}|=|\frac{c}{d}-\frac{p}{q}|⩾\frac{1}{dq}>\frac{1}{2^{n-1}\cdot q}⩾\frac{1}{q^n},$

co jest sprzeczne z określeniem liczby Liouville’a.

Własności miarowe zbióru liczb Liouville’a

Wykażemy, że zbiór $L$ liczb Liouville’a jest miary zero Lebesgue’a. Dowód przedstawiony poniżej jest oparty na rozumowaniu, które podał Oxtoby. Dla liczb naturalnych $n>2$ oraz $q⩾2$ połóżmy:

$V_{n,q}=\bigcup _{p=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}).$

Zauważmy, że dla każdych liczb naturalnych $n$ i $m$ mamy

$L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup _{q=2}^{\mathrm{\infty }}{V}_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup _{q=2}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{p=-mq}^{mq}(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}).$

Oczywiście, $|(\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n})-(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n})|=\frac{2}{q^n}.$ Pamiętając, że $n>2,$ można również wykazać, że

$\sum _{q=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{p=-mq}^{mq}\frac{2}{q^n}=\sum _{q=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(2mq+1)}{q^n}⩽(4m+1)\sum _{q=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{q^{n-1}}⩽\frac{4m+1}{n-2}.$

Ponieważ $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{4m+1}{n-2}=0,$ to teraz łatwo wnioskujemy, że dla każdej liczby naturalnej $m$ przekrój $L\cap (-m,m)$ jest miary Lebesgue’a zero, a zatem i $L$ jest miary zero. Czyli z miarowego punktu widzenia, prawie żadna liczba rzeczywista nie jest liczbą Liouville’a.

Własności topologiczne zbioru liczb Liouville’a

Dla liczby naturalnej $n$ połóżmy:

$U_n=\bigcup _{q=2}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{p=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}).$

Każdy ze zbiorów $U_n$ jest otwartym gęstym podzbiorem prostej $ℝ$ (zauważmy, że $U_n$ zawiera wszystkie liczby wymierne). Ponadto $L=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n\setminus \mathbb{Q},$ zatem $L$ jest gęstym zbiorem typu G_δ, a stąd jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii. Czyli, z topologicznego punktu widzenia, prawie każda liczba rzeczywista jest liczbą Liouville’a.

Stopień niewymierności

Istnieje prosta metoda pozwalająca zmierzyć, „jak bardzo” niewymierna jest dana liczba. Polega ona na badaniu dokładności aproksymacji liczby $x$ za pomocą liczb wymiernych.

Stopniem niewymierności nazywamy kres górny zbioru liczb rzeczywistych $\mu$ o tej własności, że nierówność

$0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^{\mu }}$

zachodzi dla nieskończenie wielu par $(p,q),$ gdzie $q>0.$

Wszystkie liczby Liouville’a i tylko one mają nieskończony stopień niewymierności.

Liczby Liouville’a jako liczby przestępne

Poniżej wykażemy, że każda liczba Liouville’a jest przestępna. Jednak nie każda liczba przestępna jest liczbą Liouville’a – ponieważ zbiór liczb Liouville’a jest zbiorem miary zero Lebesgue’a, to istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych, które nie są liczbami Liouville’a. Okazuje się, że liczbami Liouville’a nie są również liczby e oraz π.

Punktem kluczowym dowodu jest obserwacja, że liczba algebraiczna, która jest niewymierna, nie daje się w pewnym sensie „dobrze” aproksymować liczbami wymiernymi. Poniższy lemat należący do Liouville’a nazywany jest również często twierdzeniem Liouville’a o aproksymacji diofantycznej.

Lemat: Jeśli $\alpha$ jest liczbą niewymierną, która jest pierwiastkiem wielomianu $f$ stopnia $n>0$ o współczynnikach całkowitych, to istnieje liczba rzeczywista $A>0$ taka, że dla dowolnych liczb całkowitych $p$ oraz $q>0$ zachodzi $|\alpha -p/q|>A/q^n.$

Dowód lematu: Niech $M$ oznacza największą wartość modułu pochodnej $|f^{\prime }(x)|$ wielomianu $f$ w przedziale $[\alpha -1,\alpha +1].$ Niech ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ będą różnymi pierwiastkami wielomianu $f,$ które są różne od α. Wybierzmy taką liczbę $A>0,$ która spełnia warunek:

$A<\min (1,\frac{1}{M},|\alpha -{\alpha }_1|,|\alpha -{\alpha }_2|,\dots ,|\alpha -{\alpha }_m|).$

Przypuśćmy, że istnieją takie liczby całkowite $p,q,$ dla których nierówność podana w tezie lematu nie zachodzi. Oznacza to, że

$|\alpha -\frac{p}{q}|⩽\frac{A}{q^n}⩽A<\min (1,|\alpha -{\alpha }_1|,|\alpha -{\alpha }_2|,\dots ,|\alpha -{\alpha }_m|).$

Wówczas $p/q$ leży w przedziale $[\alpha -1,\alpha +1]$ oraz $p/q$ nie jest żadną z liczb $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m\}.$ Zatem $p/q$ nie jest też pierwiastkiem $f,$ a ponadto żaden pierwiastek $f$ nie leży pomiędzy $\alpha$ i $p/q.$

Na mocy twierdzenia o wartości średniej pomiędzy $p/q$ i $\alpha$ istnieje taka liczba $x_0,$ że

$f(\alpha )-f\left(\frac{p}{q}\right)=(\alpha -\frac{p}{q})\cdot f^{\prime }(x_0).$

Ponieważ $\alpha$ jest pierwiastkiem $f,$ a $p/q$ nie, zatem $|f^{\prime }(x_0)|>0$ i:

$|\alpha -\frac{p}{q}|=\frac{|f(\alpha )-f\left(\frac{p}{q}\right)|}{|f^{\prime }(x_0)|}=\frac{\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|}{|f^{\prime }(x_0)|}.$

Ponieważ $f$ jest postaci $\sum _{i=0}^n{c}_i\cdot x^i,$ gdzie każde $c_i$ jest całkowite, $|f(p/q)|$ można zapisać jako

$\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|=\left|\sum _{i=0}^n{c}_i{\left(\frac{p}{q}\right)}^i\right|=\frac{\left|\sum _{i=0}^n{c}_i{p}^i{q}^{n-i}\right|}{q^n}⩾\frac{1}{q^n}.$

Ostatnia nierówność zachodzi, gdyż $p/q$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $f,$ a $c_i$ są liczbami całkowitymi.

Zatem $|f(p/q)|⩾1/q^n,$ a skoro $|f^{\prime }(x_0)|⩽M$ na mocy określenia liczby $M$ i $1/M>A$ z definicji $A,$ otrzymujemy stąd sprzeczność:

$|\alpha -\frac{p}{q}|=\frac{\left|f\left(\frac{p}{q}\right)\right|}{|f^{\prime }(x_0)|}⩾\frac{1}{M{q}^n}>\frac{A}{q^n}⩾|\alpha -\frac{p}{q}|.$

Wynika stąd, że nie istnieją liczby $p$ i $q$ o takich własnościach, co dowodzi lematu.

Dowód stwierdzenia: Niech $x$ będzie liczbą Liouville’a, wiemy już, że $x$ jest liczbą niewymierną. Gdyby $x$ była liczbą algebraiczną, na mocy lematu istniałyby liczby naturalna $n$ i rzeczywista dodatnia $A,$ takie że dla dowolnych całkowitych $p$ i $q:$

$|x-\frac{p}{q}|>\frac{A}{q^n}.$

Niech $r$ będzie taką liczbą naturalną, że $1/(2^r)⩽A.$ Jeśli położyć $m=r+n,$ to – ponieważ $x$ jest liczbą Liouville’a – znajdziemy liczby całkowite $a,b>1$ i takie, że

$|x-\frac{a}{b}|<\frac{1}{b^m}=\frac{1}{b^{r+n}}=\frac{1}{b^r{b}^n}⩽\frac{1}{2^r{b}^n}⩽\frac{A}{b^n},$

co stoi w sprzeczności z lematem. Stąd $x$ nie jest algebraiczna, a zatem jest przestępna.

Zobacz też

• liczby algebraiczne
• liczby przestępne
• ułamek łańcuchowy
• zbiór miary zero
• zbiór pierwszej kategorii

Linki zewnętrzne

• Początki liczb przestępnych Szablon:Lang
• Szablon:Pismo Delta