Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)

Szablon:Inne znaczenia Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym; jest to uogólnienie twierdzenia Rolle’a oraz szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego i twierdzenia Taylora.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a, który podał je i udowodnił w 1797 roku.

Twierdzenie

Jeśli dana funkcja $f:[a,b]\to ℝ$ jest

• ciągła w przedziale $[a,b],$
• różniczkowalna w przedziale $(a,b),$

to istnieje taki punkt $c\in (a,b),$ że:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c).$

Interpretacje

W języku geometrii twierdzenie Lagrange’a mówi o tym, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu $(a,f(a))$ do punktu $(b,f(b)),$ istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami $(a,f(a))$ i $(b,f(b)).$

współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie $(c,f(c))$ wynosi $f^{\prime }(c).$ Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Z kolei teza twierdzenia Lagrange’a zapisana w postaci iloczynowej

$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$

wskazuje na to, że przyrost wartości funkcji dla argumentów $a$ i $b$ wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między $a$ i $b$ – stąd właśnie nazwa twierdzenia.

Dowód

Załóżmy, że:

$K=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$

$g(x)=f(x)-K(x-a).$

Mamy wtedy:

$g(a)=f(a)-K(a-a)=f(a)$

oraz

$g(b)=f(b)-K(b-a)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a).$

A więc:

$g(a)=g(b),$ czyli funkcja $g(x)$ spełnia założenia twierdzenia Rolle’a, a zatem istnieje punkt $c\in (a,b)$ taki, że $g^{\prime }(c)=0,$ z drugiej strony mamy $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-K$ i stąd otrzymujemy $0=g^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-K.$ Dlatego też $f^{\prime }(c)=K=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Historia

Pierwszy przykład zastosowania został opisany przez Parameśwarę (1380–1460), z keralskiej szkoły astronomii i matematyki, w jego komentarzach do Gowindśwvāminiego i BhaskaraćarjiSzablon:Fakt. W 1691 roku Michel Rolle udowodnił prostszą postać tego twierdzenia dla wielomianów (nie powołując się na metody rachunku różniczkowego); dziś szczególny przypadek twierdzenia Lagrange’a znany jest właśnie jako twierdzenie Rolle’a. Twierdzenie Lagrange’a we współczesnej postaci i pełnej ogólności zostało postawione i udowodnione przez Augustina Louisa Cauchego w 1823 roku.

Uogólnienie

Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w ${ℝ}^n$ dla $n>1$) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji $ℝ\to {ℝ}^2$) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).

Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:

$\Vert f(b)-f(a)\Vert ⩽|b-a|\cdot \sup {\mathrm{\backslash limits}}_{t\in (a,b)}\Vert f^{\prime }(t)\Vert .$

Dowód polega na wykazaniu, że dla liczby $\epsilon >0$ i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale $(a,b),$ to $b$ jest kresem górnym zbioru końców przedziału, dla których spełniona jest teza, gdy zastąpić w niej $a$ przez $a+\epsilon$ i supremum przez ograniczenie górne. Wystarczy wtedy zauważyć, że nierówność pozostanie prawdziwa zastąpiwszy ograniczenie kresem, a ponadto $\epsilon$ może być dowolnie mała dzięki ciągłości funkcji $f.$

Zobacz też

• twierdzenie Darboux

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Finite-increments formula Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-06-20].