Twierdzenie Cauchy’ego (rachunek różniczkowy)

Ilustracja twierdzenia Cauchy’ego o wartości średniej – krzywa płaska opisana parametrycznie, dwoma funkcjami różniczkowalnymi $f$ i $g$. Sieczna tej krzywej, zaznaczona na czerwono, zawsze ma równoległą do niej styczną, zaznaczoną tu na zielonoSzablon:Odn.

Twierdzenie Cauchy’ego, uogólnione twierdzenie o wartości średniejSzablon:Odn – twierdzenie w analizie matematycznej, konkretniej w analizie rzeczywistej i rachunku różniczkowym, zaliczane do twierdzeń o wartości średniej. Mówi, że jeśli dwie funkcje rzeczywiste na przedziale są różniczkowalne, to istnieje w tym przedziale punkt, dla którego pewne wyrażenia są równe.

Jest to uogólnienie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniejSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn, a przez to – twierdzenia Rolle’a. Zastosowania twierdzenia Cauchy’ego to między innymi:

• oszacowanie błędu (reszty) we wzorze TayloraSzablon:OdnSzablon:Odn;
• dowód reguły de l’HospitalaSzablon:OdnSzablon:Odn.

Twierdzenie

Jeżeli dane funkcje $f$ i $g$ są:

• ciągłe w przedziale domkniętym $[a,b],$
• różniczkowalne w przedziale $(a,b),$

to istnieje punkt $c$ należący do przedziału $(a,b)$ taki, żeSzablon:Odn:

$g^{\prime }(c)\cdot [f(b)-f(a)]=f^{\prime }(c)\cdot [g(b)-g(a)].$

Dowód

Zdefiniujmy $h:[a,b]\to ℝ$

$h(x)=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x).$

Zauważmy, że $h$ jest różniczkowalna na $(a,b)$ oraz $h(a)=h(b),$ więc na mocy twierdzenia Rolle’a istnieje $c\in (a,b)$ takie, że $h^{\prime }(c)=0.$ Ponadto

$0=h^{\prime }(c)=(f(b)-f(a))g^{\prime }(c)-(g(b)-g(a))f^{\prime }(c),$

co kończy dowód.

Wniosek

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są:

• ciągłe w przedziale domkniętym $[a,b],$ różniczkowalne w przedziale $(a,b)$ oraz dodatkowo $g^{\prime }(x)=0$ dla $x\in (a,b),$

to istnieje taki punkt $c\in (a,b),$ żeSzablon:OdnSzablon:Odn:

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-06-20].
• Szablon:Otwarty dostęp Cauchy theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].