Diagram Cichonia

Diagram Cichonia – diagram złożony dziesięciu liczb kardynalnych, związanych ze strukturą ideałów zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero na prostej rzeczywistej, oraz ze strukturą przestrzeni Baire’a ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ (tzn. przestrzeni wszystkich ciągów liczb naturalnych).

Nazwę diagramowi nadał brytyjski matematyk Dawid Fremlin, dla uhonorowania wkładu wrocławskiego matematyka Jacka Cichonia i jego grupy w rozwój tej części teorii mnogości. Należy jednak podkreślić, że ostateczny kształt diagramu jest wynikiem pracy wielu matematyków polskich i zagranicznych. W miarę aktualny stan badań w tej i pokrewnych dziedzin można znaleźć w monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha

Dowody nierówności związanych z diagramem Cichonia są bardzo efektywne: mówią o strukturze miary i kategorii więcej, niż wynika to z nierówności pomiędzy odpowiednimi liczbami kardynalnymi. Dlatego rozważa się również wersje diagramu dla własności rozszerzeń modeli teorii mnogości oraz dla własności pewnych rodzin zbiorów „małych”.

Definicje formalne

Niech $I$ będzie ideałem podzbiorów $X,$ do którego należą wszystkie podzbiory jednopunktowe. Definiujemy współczynniki kardynalne ideału $I$ następująco:

• $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}(I)=\min \{|𝒜|:𝒜\subseteq I\wedge \bigcup 𝒜\notin I\}.$

  (Innymi słowy, liczba kardynalna add(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I musimy połączyć, aby dostać zbiór nienależący do ideału?”)

• $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(I)=\min \{|𝒜|:𝒜\subseteq I\wedge \bigcup 𝒜=X\}.$

  (cov(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, aby pokryć cały zbiór X?”)

• $\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}(I)=\min \{|A|:A\subseteq X\wedge A\notin I\},$

  (non(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile elementów ma najmniejszy zbiór nie należący do I?”)

• $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(I)=\min \{|ℬ|:ℬ\subseteq I\wedge (\mathrm{\forall }A\in I)(\mathrm{\exists }B\in ℬ)(A\subseteq B)\}.$

  (cof(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, by wygenerować cały ideał I?”)

Definiujemy także następujące dwie liczby kardynalne (nazywane liczbą nieograniczoną i liczbą dominującą, odpowiednio):

• $𝔟=\min \{|F|:F\subseteq {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}\wedge (\mathrm{\forall }g\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}})(\mathrm{\exists }f\in F)({\mathrm{\exists }}^{\mathrm{\infty }}n\in \mathbb{N})(g(n)<f(n))\},$
• $𝔡=\min \{|F|:F\subseteq {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}\wedge (\mathrm{\forall }g\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}})(\mathrm{\exists }f\in F)({\mathrm{\forall }}^{\mathrm{\infty }}n\in \mathbb{N})(g(n)<f(n))\},$

gdzie „${\mathrm{\exists }}^{\mathrm{\infty }}n\in \mathbb{N}$” oznacza „istnieje nieskończenie wiele takich $n\in \mathbb{N},$ że” oraz „${\mathrm{\forall }}^{\mathrm{\infty }}n\in \mathbb{N}$” oznacza „dla wszystkich, oprócz skończenie wielu $n\in \mathbb{N}$ mamy, że”.

Diagram

Niech $𝒦$ będzie σ-ideałem tych podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii Baire’a, oraz niech $ℒ$ oznacza σ-ideał zbiorów miary Lebesgue’a zero na prostej. Wówczas zachodzą następujące nierówności, gdzie każda strzałka „$⟶$” zastępuje znak nierówności „$⩽$”:

		$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(ℒ)$	$⟶$	$\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}(𝒦)$	$⟶$	$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(𝒦)$	$⟶$	$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(ℒ)$	$⟶$	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$
		$\uparrow$		$\uparrow$		$\uparrow$		$\uparrow$
				$𝔟$	$⟶$	$𝔡$
				$\uparrow$		$\uparrow$
${\mathrm{\aleph }}_1$	$⟶$	$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}(ℒ)$	$⟶$	$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}(𝒦)$	$⟶$	$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(𝒦)$	$⟶$	$\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}(ℒ)$

Z powyższym diagramem związane są dwie dodatkowe zależności:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}(𝒦)=\min \{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(𝒦),𝔟\}$ oraz

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{f}(𝒦)=\max \{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}(𝒦),𝔡\}.$

Okazuje się, że każde rozmieszczenie wartości ${\mathrm{\aleph }}_1$ i ${\mathrm{\aleph }}_2$ w diagramie, które jest zgodne z nierównościami i powyższymi dwoma równościami jest niesprzeczne z ZFC. Aksjomat Martina implikuje że $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}(ℒ)=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ (a więc i pozostałe współczynniki są równe $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$), CH oczywiście implikuje że wszystkie liczby w diagramie są równe ${\mathrm{\aleph }}_1.$