Przestrzeń Baire’a

Przestrzeń Baire’a – termin w topologii i teorii mnogości, który jest używany w dwóch znaczeniach. Może on odnosić się do pewnej własności przestrzeni topologicznych, ale jest to też nazwa szczególnego przykładu takiej przestrzeni.

W obydwu przypadkach, ta nazwa została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a.

Własność przestrzeni topologicznych

Definicja

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że $X$ jest przestrzenią Baire’a jeśli część wspólna każdej przeliczalnej rodziny otwartych gęstych podzbiorów $X$ jest gęstym podzbiorem $X.$

Niektórzy autorzy używają zwrotu $X$ ma własność Baire’a (zamiast „$X$ jest przestrzenią Baire’a”). Należy jednak zwrócić uwagę, że podobna terminologia jest używana dla określenia własności Baire’a podzbiorów przestrzeni.

Przykłady

• Prosta rzeczywista $ℝ$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych ${ℝ}^n$ jest przestrzenią Baire’a.
• Każda przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Baire’a.
• Każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna jest przestrzenią Baire’a.
• Każda lokalnie zwarta przestrzeń T₂ jest przestrzenią Baire’a.
• Przestrzenie zupełne w sensie Čecha są przestrzeniami Baire’a.
• Przestrzeń $(ℝ\times (0,\mathrm{\infty }))\cup (\mathbb{Q}\times 0)$ z metryką euklidesową jest przestrzenią Baire’a (bo dla dowolnego jej podzbioru domkniętego brzegowego $F$ zbiór $F\cup (ℝ\times 0)$ jest domknięty brzegowy w $ℝ\times [0,\mathrm{\infty }),$ która jest przestrzenią Baire’a), ale nie jest zupełna w sensie Čecha (bo jej domkniętym podzbiorem jest $\mathbb{Q}\times 0,$ która nie jest metryzowalna w sposób zupełny).

Własności

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

• $X$ jest przestrzenią Baire’a,
• żaden otwarty niepusty podzbiór $X$ nie jest pierwszej kategorii,
• wnętrze sumy przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych jest puste,
• dla każdych domkniętych zbiorów $F_1,F_2,F_3,\dots \subseteq X,$ jeśli $\mathrm{int}\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_i\right)\ne \mathrm{\varnothing },$ to $\mathrm{int}(F_i)\ne \mathrm{\varnothing }$ dla pewnego $i.$

Szczególna przestrzeń topologiczna

Definicja

Nazwa przestrzeń Baire’a jest też używana dla określenia przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w liczbach naturalnych. Niech ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb naturalnych, czyli zbiorem wszystkich funkcji z $\mathbb{N}$ w $\mathbb{N}.$ Zbiór ten może być traktowany jako produkt $\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{N}$ przeliczalnie wielu kopii zbioru $\mathbb{N}.$ Jeśli na zbiorze liczb naturalnych wprowadzimy topologię przestrzeni dyskretnej, to wtedy na zbiorze $\prod _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{N}$ możemy wprowadzić topologię produktową ${\tau }_B.$ Przestrzeń topologiczna $({\mathbb{N}}^{\mathbb{N}},{\tau }_B)$ jest nazywana przestrzenią Baire’a.

W teorii mnogości, przestrzeń Baire’a jest często oznaczana przez ${\omega }^{\omega }$ (jako że zbiór liczb naturalnych jest tam oznaczany przez $\omega$). W opisowej teorii mnogości zwyczajowo przestrzeń Baire’a jest oznaczana przez $𝒩.$ To ostatnie oznaczenie będzie używane poniżej.

Własności i zastosowanie

• Przestrzeń Baire’a jest przestrzenią polską. Odpowiednia metryka może być zdefiniowana następująco. Dla różnych $f,g\in 𝒩$ kładziemy $n(f,g)=\min \{n\in \mathbb{N}:f(n)\ne g(n)\}.$ Definiujemy

$d(f,g)=0$ jeśli $f=g$ oraz $d(f,g)=2^{-n(f,g)}$ w przeciwnym wypadku.

Łatwo można sprawdzić, że $d$ jest metryką zupełną na zbiorze ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ generującą topologię ${\tau }_B.$

• $𝒩\times 𝒩$ jest homeomorficzne z $𝒩.$ I ogólniej, produkt przeliczalnie wielu kopii przestrzeni $𝒩$ jest homeomorficzny z $𝒩.$
• Przestrzeń $𝒩$ jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych (wyposażonych w topologię podprzestrzeni $ℝ$).
• Przestrzeń $𝒩$ jest jedną z przestrzeni standardowo używaną w opisowej teorii mnogości, m.in. przy definiowaniu hierarchii zbiorów rzutowych.
• W dodatku do struktury topologicznej, $𝒩$ ma naturalną strukturę praporządku. Określmy relację ${⩽}^{*}$ na $𝒩$ przez

$f{⩽}^{*}g$ wtedy i tylko wtedy gdy $(\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n⩾N)(f(n)⩽g(n))$

Wówczas ${⩽}^{*}$ jest praporządkiem (ale nie porządkiem częściowym). Szereg współczynników kardynalnych studiowanych w teorii mnogości związanych z tym praporządkiem ma też znaczenie dla struktury topologicznej $𝒩.$ Np. liczba dominująca $𝔡$ występująca w diagramie Cichonia jest minimalną liczbą zwartych podzbiorów $𝒩$ potrzebnych do pokrycia całej przestrzeni.

Zobacz też

• przestrzeń topologiczna
• twierdzenie Baire’a
• zbiór pierwszej kategorii