Opisowa teoria mnogości

Opisowa teoria mnogości – poddziedzina teorii mnogości poświęcona badaniom definiowalnych podzbiorów przestrzeni polskich. Rozwinęła się w pierwszej połowie XX wieku na styku teorii funkcji rzeczywistych, topologii, teorii miary i logiki matematycznej.

W klasyfikacji MSC 2000 badań naukowych w matematyce (prowadzonej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne) opisowa teoria mnogości oznaczana jest kodem 03E15.

Klasycznymi źródłami informacji w tej dziedzinie matematyki są monografie Yiannisa Moschovakisa oraz Aleksandra Kechrisa. Z literatury dostępnej w języku polskim należy wymienić monografię Kazimierza Kuratowskiego i Andrzeja Mostowskiego, a także książkę Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego.

Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich

Podstawowymi klasami zbiorów badanych w klasycznej opisowej teorii mnogości są zbiory borelowskie oraz szersza klasa zbiorów rzutowych i ich efektywne wersje. Własności tych klas mogą być interesujące nawet dla matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność.

Funkcje rozważane w opisowej teorii mnogości są zwykle mierzalne względem σ-ciała zbiorów borelowskich (czyli są to funkcje borelowskie). Wśród funkcji borelowskich wyróżnia się izomorfizmy borelowskie, czyli bijekcje pomiędzy przestrzeniami polskimi, które są borelowskie i dla których funkcja odwrotna też jest borelowska. Powiązanymi (i badanymi) klasami funkcji są też klasy Baire’a.

Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne, co więcej – każda przestrzeń polska jest ciągłym różnowartościowym obrazem domkniętego podzbioru przestrzeni Baire’a $𝒩.$ Często dowody przeprowadza się właśnie w przestrzeni Baire’a $𝒩$ (która jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych), ale rozważania są też prowadzone w innych doskonałych przestrzeniach polskich i każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a jednocześnie pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej.

Przypomnijmy definicje klas borelowskich i rzutowych. Niech $X$ będzie przestrzenią polską.

Borelowskie podzbiory $X:$

Przez indukcję po liczbach porządkowych $0<\alpha <{\omega }_1$ definiujemy rodziny ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0(X)={\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0,$ ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0(X)={\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$ oraz ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0(X)={\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0$ podzbiorów przestrzeni $X:$

• ${\mathrm{\Sigma }}_1^0$ jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów $X,$ ${\mathrm{\Pi }}_1^0,$ to rodzina wszystkich dopełnień zbiorów z ${\mathrm{\Sigma }}_1^0$ (czyli jest to rodzina zbiorów domkniętych). Ponadto kładziemy ${\mathrm{\Delta }}_1^0={\mathrm{\Sigma }}_1^0\cap {\mathrm{\Pi }}_1^0,$ czyli ${\mathrm{\Delta }}_1^0$ jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów $X.$
• Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już ${\mathrm{\Sigma }}_{\beta }^0,{\mathrm{\Pi }}_{\beta }^0,{\mathrm{\Delta }}_{\beta }^0$ dla $0<\beta <\alpha .$ Określamy:

${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$ jest rodziną wszystkich zbiorów postaci $A=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n,$ gdzie $A_n\in \bigcup _{\beta <\alpha }{\mathrm{\Pi }}_{\beta }^0$ (dla wszystkich $n$),

${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\subseteq X$ takich, że $X\setminus A\in {\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0,$

${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0={\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0\cap {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0.$

Elementy rodziny $\bigcup _{\alpha <{\omega }_1}{\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0(X)$ nazywamy borelowskimi podzbiorami przestrzeni $X$.

Rzutowe podzbiory $X:$

Przez indukcję po liczbach naturalnych $n\in \mathbb{N}$ klasy ${\mathrm{\Sigma }}_n^1(X)={\mathrm{\Sigma }}_n^1$ oraz ${\mathrm{\Pi }}_n^1(X)={\mathrm{\Pi }}_n^1:$

• ${\mathrm{\Sigma }}_1^1$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times 𝒩$ mamy $A=\{x\in X:(\mathrm{\exists }r\in 𝒩)((x,r)\in B)\},$
• ${\mathrm{\Pi }}_1^1$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że $X\setminus A\in {\mathrm{\Sigma }}_1^1,$
• ${\mathrm{\Sigma }}_{n+1}^1$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że dla pewnego $B\in {\mathrm{\Pi }}_n^1(X\times 𝒩)$ mamy $A=\{x\in X:(\mathrm{\exists }r\in 𝒩)((x,r)\in B)\},$
• ${\mathrm{\Pi }}_{n+1}^1$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że $X\setminus A\in {\mathrm{\Sigma }}_{n+1}^1.$

Definiujemy również ${\mathrm{\Delta }}_n^1(X)={\mathrm{\Sigma }}_n^1(X)\cap {\mathrm{\Pi }}_n^1(X).$

Elementy rodziny $\bigcup _{n<\omega }{\mathrm{\Sigma }}_n^1(X)$ nazywamy rzutowymi podzbiorami przestrzeni $X$.

Wybrane własności klas punktowych

Niech $X$ będzie przestrzenią polską.

• Zachodzą następujące inkluzje (gdzie „$\subseteq$” jest reprezentowane przez strzałkę „$⟶$”):

${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$

${\mathrm{\Sigma }}_{\beta }^0$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0$

${\mathrm{\Delta }}_{\beta }^0$

${\mathrm{\Delta }}_{\beta +1}^0$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$

${\mathrm{\Pi }}_{\beta }^0$

   dla wszystkich $\alpha <\beta <{\omega }_1$ oraz

${\mathrm{\Sigma }}_1^1$

${\mathrm{\Sigma }}_2^1$

$\dots$

${\mathrm{\Sigma }}_n^1$

${\mathrm{\Sigma }}_{n+1}^1$

$\dots$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

${\mathrm{\Delta }}_1^1$

${\mathrm{\Delta }}_2^1$

${\mathrm{\Delta }}_3^1$

$\dots$

${\mathrm{\Delta }}_n^1$

${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^1$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

${\mathrm{\Pi }}_1^1$

${\mathrm{\Pi }}_2^1$

$\dots$

${\mathrm{\Pi }}_n^1$

${\mathrm{\Pi }}_{n+1}^1$

$\dots$

• Jeśli przestrzeń $X$ jest nieprzeliczalna, to wszystkie inkluzje powyżej są właściwe.
• ${\mathrm{\Delta }}_1^1(X)$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni $X.$ Jest to σ-ciało podzbiorów $X.$
• Ciągły różnowartościowy obraz borelowskiego podzbioru przestrzeni polskiej jest zbiorem borelowskim.
• Każdy zbiór klasy ${\mathrm{\Sigma }}_2^1$ jest sumą ${\mathrm{\aleph }}_1$ zbiorów borelowskich.
• Twierdzenie uniformizacyjne Kondo-Nowikowa: Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami polskimi oraz $A\in {\mathrm{\Pi }}_1^1(X\times Y),$ to można wybrać zbiór $B\in {\mathrm{\Pi }}_1^1(X\times Y)$ zawarty w $A$ i taki, że dla wszystkich $x\in X$

$(\mathrm{\exists }y\in Y)((x,y)\in A)\iff (\mathrm{\exists }!y\in Y)((x,y)\in B).$

(Powyżej kwantyfikator $\mathrm{\exists }!$ oznacza istnieje dokładnie jeden).

Regularność klas punktowych

Pytania dotyczące regularności klas punktowych są w centrum zainteresowań opisowej teorii mnogości. Regularność może mieć wiele znaczeń i może odnosić się do mierzalności w sensie Lebesgue’a, własności Baire’a, własności Ramseya, własności zbioru doskonałego i innych własności tego typu. Przykładowe twierdzenia dotyczące tej tematyki to:

• wszystkie zbiory klasy ${\mathrm{\Sigma }}_1^1$ mają własność Baire’a i są mierzalne w sensie Lebesgue’a,
• każdy zbiór klasy ${\mathrm{\Sigma }}_1^1$ jest albo przeliczalny, albo zawiera podzbiór doskonały,
• każdy ${\mathrm{\Sigma }}_1^1$ podzbiór przestrzeni $[\omega {]}^{\omega }$ nieskończonych podzbiorów $\omega$ ma własność Ramseya,
• jeśli wszystkie zbiory klasy ${\mathrm{\Sigma }}_2^1$ są mierzalne, to wszystkie zbiory klasy ${\mathrm{\Sigma }}_2^1$ mają własność Baire’a,
• jeśli założymy aksjomat determinacji rzutowej PD, to wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a i są mierzalne w sensie Lebesgue’a oraz każdy nieprzeliczlany zbiór rzutowy zawiera podzbiór doskonały,
• jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to istnieje ${\mathrm{\Delta }}_2^1$ podzbiór prostej, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a, oraz istnieje nieprzeliczalny zbiór klasy ${\mathrm{\Pi }}_1^1,$ który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

Dla szerszego przeglądu tej tematyki odsyłamy czytelnika do monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha.

Definiowalne relacje równoważności

W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą definiowalnych relacji równoważności oraz działań grup (przede wszystkim grup polskich, tzn. grup topologicznych będących przestrzeniami polskimi).

Definicje

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami polskimi.

• Relacja $E$ na przestrzeni $X$ jest borelowska (analityczna itd.), jeśli jest ona borelowskim (analitrycznym itd.) podzbiorem przestrzeni $X\times X.$
• Przypuśćmy, że $E$ jest relacją równoważności na $X,$ a $F$ jest relacją równoważności na $Y.$ Powiemy, że relacja $E$ jest borelowsko redukowalna do F, jeśli istnieje funkcja borelowska $f:X⟶Y$ taka, że

$(\mathrm{\forall }x,y\in X)(xEy\iff f(x)Ff(y)).$

W powyższej sytuacji piszemy $E{⩽}_{B}F.$

Relacja borelowskiej redukcji ${⩽}_B$ jest konceptualnie bliska pojęciu bycia mocy nie większej niż. Jeśli $E{⩽}_{B}F,$ to mamy „świadka” na nierówność $|X/E|⩽|Y/F|,$ który może być „podniesiony” do borelowskiego odwzorowanika z $X$ do $Y.$

• Jeśli $E{⩽}_{B}F$ oraz $F{⩽}_{B}E,$ to powiemy, że przestrzenie ilorazowe $X/E$ i $Y/F$ mają tę samą moc borelowską. Piszemy wówczas $E{\sim }_{B}F.$

Podstawowe własności

Przy badaniu definiowalnych relacji równoważności utożsamia się każdą przestrzeń polską z relacją równości określonej na tej przestrzeni. Zwyczajowo też używa się symbolu $E_0$ na oznaczenie następującej relacji na liczbach rzeczywistych:

$x{E}_{0}y$ wtedy i tylko wtedy, gdy różnica $x-y$ jest liczbą wymierną.

• $ℝ{<}_B{E}_0$ (tzn, $ℝ{⩽}_B{E}_0,$ ale $E_0{⩽}_Bℝ$).
• Jeśli $E$ jest relacją równoważności klasy ${\mathrm{\Pi }}_1^1,$ to

albo $E{⩽}_B\mathbb{N}$ lub $ℝ{⩽}_{B}E$

• Jeśli $E$ jest borelowską relacją równoważności, to

albo $E{⩽}_Bℝ$ lub $E_0{⩽}_{B}E$

• Dla każdej borelowskiej relacji równoważności $E$ istnieje borelowska relacja równoważności $F$ taka, że $E{<}_{B}F.$
• Wśród borelowskich relacji równoważności o przeliczalnych klasach abstrakcji istnieje element ${⩽}_B$-największy. W tej samej rodzinie relacji można wybrać nieprzeliczalnie wiele parami ${⩽}_B$-nieporównywalnych relacji.

Zobacz też

• gry nieskończone
• uniwersum konstruowalne
• zbiory analityczne
• zbiór typu F-sigma
• zbiór typu G-delta

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Descriptive set theory Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].