Zbiór analityczny

Zbiory analityczne – podzbiory przestrzeni polskiej, które są ciągłymi obrazami zbiorów borelowskich. Dopełnienia zbiorów analitycznych to zbiory koanalityczne.

Zbiory analityczne były wprowadzone w 1917 przez rosyjskiego matematyka Michaiła Suslina.

Zbiory analityczne w przestrzeniach polskich

Niech $𝒩$ oznacza przestrzeń Baire’a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Dla przestrzeni polskiej $X$ definiujemy klasy ${\mathrm{\Sigma }}_1^1(X)$ i ${\mathrm{\Pi }}_1^1(X)$ następująco:

• ${\mathrm{\Sigma }}_1^1(X)$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times 𝒩$ mamy $A=\{x\in X:(\mathrm{\exists }r\in 𝒩)((x,r)\in B)\},$
• ${\mathrm{\Pi }}_1^1(X)$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że $X\setminus A\in {\mathrm{\Sigma }}_1^1(X).$

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy ${\mathrm{\Sigma }}_1^1,{\mathrm{\Pi }}_1^1$ (zamiast ${\mathrm{\Sigma }}_1^1(X),{\mathrm{\Pi }}_1^1(X)$).

Zbiory należące do klasy ${\mathrm{\Sigma }}_1^1(X)$ nazywane są analitycznymi podzbiorami przestrzeni $X$, a zbiory z klasy ${\mathrm{\Pi }}_1^1(X)$ są nazywane koanalitycznymi podzbiorami przestrzeni $X$. Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości rodzinę zbiorów analitycznych oznacza się przez A, a klasę zbiorów koanalitycznych oznacza się przez CA.

Przykłady

• Każdy borelowski podzbiór przestrzeni polskiej jest analityczny i koanalityczny.
• Dla ciągu$x\in 2^{\mathbb{N}}$ niech $R_x=\{(n,m)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}:x(2^n\cdot (2m+1))=1\}.$ Tak więc, dla każdego $x\in 2^{\mathbb{N}},$ zbiór $R_x$ jest relacją dwuargumentową na zbiorze liczb naturalnych $\mathbb{N}.$ Rozważmy zbiór

$𝐖𝐎=\{x\in 2^{\mathbb{N}}:R_x$ jest dobrym porządkiem na $\mathbb{N}\}.$

Wówczas $𝐖𝐎$ jest zbiorem koanalitycznym który nie jest borelowski. (A więc jego dopełnienie $2^{\mathbb{N}}\setminus 𝐖𝐎$ jest przykładem zbioru analitycznego który nie jest borelowski).

Własności

• Jeśli $Y$ jest przestrzenią polską, $f:X⟶Y$ jest funkcją ciągłą oraz $A\in {\mathrm{\Sigma }}_1^1(X),$ to $f(A)\in {\mathrm{\Sigma }}_1^1(Y).$ W szczególności, każdy ciągły obraz zbioru borelowskiego jest analityczny.
• Przeliczalne sumy i przekroje zbiorów analitycznych (koanalitycznych, odpowiednio) są analityczne (koanalityczne, odpowiednio).
• Nieskończony zbiór analityczny jest albo przeliczalny albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum. Co więcej, każdy nieprzeliczalny zbiór analityczny zawiera zbiór doskonały.
• Przy założeniu aksjomatu konstruowalności, istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.
• Jeśli $A,B$ są rozłącznymi podzbiorami analitycznymi przestrzeni polskiej $X,$ to można znaleźć taki zbiór borelowski $C\subseteq X,$ że $A\subseteq C$ oraz $C\cap B=\mathrm{\varnothing }.$ W szczególności, jedynymi zbiorami które są jednocześnie analityczne i koanalityczne są zbiory borelowskie.
• Wszystkie zbiory z ${\mathrm{\Sigma }}_1^1\cup {\mathrm{\Pi }}_1^1$ mają własność Baire’a.
• Wszystkie zbiory z ${\mathrm{\Sigma }}_1^1(ℝ)\cup {\mathrm{\Pi }}_1^1(ℝ)$ są mierzalne w sensie miary Lebesgue’a.
• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z ${\mathrm{\Sigma }}_1^1(𝒩)$ są zdeterminowane.
• Przypuśćmy, że $X,Y$ są przestrzeniami polskimi i $A\subseteq X\times Y$ jest zbiorem koanalitycznym. Wówczas można znaleźć zbiór koanalityczny $B\subseteq A$ który jest wykresem funkcji o dziedzinie $\{x\in X:(\mathrm{\exists }y\in Y)((x,y)\in A)\}.$

Powyższe twierdzenie przy założeniu że $A$ jest zbiorem borelowskim było udowodnione przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego, a w sformułowaniu przedstawionym powyżej udowodnił je Motokiti Kondo.

Zobacz też

• opisowa teoria mnogości
• teoria mnogości
• zbiór borelowski
• zbiór rzutowy