Zbiór rzutowy

Zbiory rzutowe – podzbiory przestrzeni polskiej, które mogą być otrzymane ze zbiorów borelowskich przy użyciu skończenie wielu operacji ciągłych obrazów i dopełnienia.

Zbiory rzutowe były wprowadzone niezależnie w latach 20. XX wieku przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina i polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego.

Hierarchia zbiorów rzutowych

Niech $𝒩$ oznacza przestrzeń Baire’a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Przez indukcję po liczbach naturalnych $n\in \mathbb{N}$ dla każdej przestrzeni polskiej $X$ definiujemy klasy Łuzina ${\mathrm{\Sigma }}_n^1(X)$ i klasy dualne ${\mathrm{\Pi }}_n^1(X)$

• ${\mathrm{\Sigma }}_1^1(X)$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times 𝒩$ mamy $A=\{x\in X:(\mathrm{\exists }r\in 𝒩)((x,r)\in B)\},$
• ${\mathrm{\Pi }}_1^1(X)$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że $X\setminus A\in {\mathrm{\Sigma }}_1^1(X),$
• ${\mathrm{\Sigma }}_{n+1}^1(X)$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że dla pewnego $B\in {\mathrm{\Pi }}_n^1(X\times 𝒩)$ mamy $A=\{x\in X:(\mathrm{\exists }r\in 𝒩)((x,r)\in B)\},$
• ${\mathrm{\Pi }}_{n+1}^1(X)$ jest rodziną tych podzbiorów $A$ przestrzeni $X,$ że $X\setminus A\in {\mathrm{\Sigma }}_{n+1}^1(X).$

Definiujemy również ${\mathrm{\Delta }}_n^1(X)={\mathrm{\Sigma }}_n^1(X)\cap {\mathrm{\Pi }}_n^1(X).$

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy ${\mathrm{\Sigma }}_n^1,{\mathrm{\Pi }}_n^1,{\mathrm{\Delta }}_n^1$ (zamiast ${\mathrm{\Sigma }}_n^1(X),{\mathrm{\Pi }}_n^1(X),{\mathrm{\Delta }}_n^1(X)$). Elementy tych klas noszą wspólną nazwę zbiorów rzutowych.

Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości dla początkowych klas rzutowych używa się następującej terminologii:

• elementy klasy ${\mathrm{\Sigma }}_1^1$ nazywane są zbiorami analitycznymi, a zbiory z ${\mathrm{\Pi }}_1^1$ są określane jako zbiory koanalityczne; czasami te klasy zbiorów oznacza się A i CA,
• klasy ${\mathrm{\Sigma }}_2^1$ i ${\mathrm{\Pi }}_2^1$ oznaczane są też przez PCA i CPCA etc.

Przykładowe własności

Poniżej przedstawiamy tylko parę przykładowych własności klas rzutowych. Teoria tych klas jest bardzo rozbudowana i zainteresowany czytelnik może bliżej zapoznać się z nią czytając np. monografię Yiannisa Moschovakisa lub książkę Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha.

Niech $X$ będzie przestrzenią polską.

• Zachodzą następujące inkluzje (gdzie „$\subseteq$” jest reprezentowane przez strzałkę „$⟶$”):

${\mathrm{\Sigma }}_1^1$

${\mathrm{\Sigma }}_2^1$

$\dots$

${\mathrm{\Sigma }}_n^1$

${\mathrm{\Sigma }}_{n+1}^1$

$\dots$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

${\mathrm{\Delta }}_1^1$

${\mathrm{\Delta }}_2^1$

${\mathrm{\Delta }}_3^1$

$\dots$

${\mathrm{\Delta }}_n^1$

${\mathrm{\Delta }}_{n+1}^1$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

${\mathrm{\Pi }}_1^1$

${\mathrm{\Pi }}_2^1$

$\dots$

${\mathrm{\Pi }}_n^1$

${\mathrm{\Pi }}_{n+1}^1$

$\dots$

• ${\mathrm{\Delta }}_1^1$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni $X.$
• Każda klasa Łuzina ${\mathrm{\Sigma }}_n^1$ jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje i podobnie dla klas dualnych ${\mathrm{\Pi }}_n^1$.
• Każda klasa ${\mathrm{\Delta }}_n^1$ jest σ-ciałem zbiorów.
• Jeśli $Y$ jest przestrzenią polską, $f:X⟶Y$ jest funkcją ciągłą oraz $A\in {\mathrm{\Sigma }}_n^1(X),$ to $f(A)\in {\mathrm{\Sigma }}_n^1(Y).$
• Jeśli $Y$ jest przestrzenią polską, $f:X⟶Y$ jest funkcją ciągłą oraz $B\in {\mathrm{\Sigma }}_n^1(Y)$ $(B\in {\mathrm{\Pi }}_n^1(Y)),$ to także $f^{-1}(B)\in {\mathrm{\Sigma }}_n^1(Y)$ $(f^{-1}(B)\in {\mathrm{\Pi }}_n^1(Y)).$
• Wszystkie zbiory z ${\mathrm{\Sigma }}_1^1\cup {\mathrm{\Pi }}_1^1$ mają własność Baire’a.
• Wszystkie zbiory z ${\mathrm{\Sigma }}_1^1(ℝ)\cup {\mathrm{\Pi }}_1^1(ℝ)$ są mierzalne w sensie miary Lebesgue’a.
• Jeśli założymy MA oraz ¬CH, to wówczas wszystkie zbiory z ${\mathrm{\Sigma }}_2^1\cup {\mathrm{\Pi }}_2^1$ są mierzalne i mają własność Baire’a.
• Jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to

(a) istnieje ${\mathrm{\Sigma }}_2^1$-dobre uporządkowanie prostej rzeczywistej,

(b) istnieje ${\mathrm{\Delta }}_2^1$-podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a,

(c) istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

• Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a.
• Można zbudować pojęcie forsingu, które forsuje, że wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, ale mierzalność wszystkich zbiorów klasy ${\mathrm{\Sigma }}_3^1$ implikuje, że ${\omega }_1$ jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla).
• Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z ${\mathrm{\Sigma }}_1^1(𝒩)$ są zdeterminowane. Przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych można wykazać, że gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane.

Zobacz też

• opisowa teoria mnogości
• teoria mnogości
• zbiór analityczny
• zbiór borelowski