Zbiór typu F-sigma

Szablon:Dopracować Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu $F_{\sigma }$ (czytamy: „zbiór typu ef sigma”), gdy jest on sumą przeliczalnej rodziny zbiorów domkniętych.

Każdy zbiór domknięty jest typu $F_{\sigma };$ w przestrzeniach metryzowalnych każdy zbiór otwarty jest również tego typu – ogólnie w przestrzeniach doskonale normalnych każdy zbiór otwarty jest $F_{\sigma }.$

Dopełnienie zbioru typu $F_{\sigma }$ nazywamy zbiorem typu G-delta $(G_{\delta }).$

Suma przeliczalnej rodziny zbiorów typu $F_{\sigma }$ oraz przekrój skończonej rodziny takich zbiorów jest znów zbiorem typu $F_{\sigma }.$

Nazwa „zbiór typu $F_{\sigma }$” wzięła się ze zwyczaju oznaczania zbiorów domkniętych literą $F,$ a indeksem $\sigma$ – operacji przeliczalnej sumy. Zgodnie z taką konwencją przeliczalne przekroje zbiorów typu $F_{\sigma }$ są zbiorami typu $F_{\sigma \delta }$, ich przeliczalne sumy – zbiorami typu $F_{\sigma \delta \sigma }$ itd. Jeśli rozważaną przestrzenią jest $ℝ,$ to otrzymuje się w ten sposób coraz szersze klasy zbiorów borelowskich w $ℝ.$

Alternatywnym oznaczeniem na klasę zbiorów typu F_σ jest ${\mathrm{\Sigma }}_2^0.$

Przykłady

• Zbiór liczb wymiernych jest typu $F_{\sigma }.$
• Zbiór liczb niewymiernych nie jest typu $F_{\sigma }.$ Wynika to z tego, że liczby niewymierne są gęstym zbiorem typu $G_{\delta }.$ Gdyby liczby niewymierne były typu zbiorem $F_{\sigma },$ to zbiór liczb wymiernych byłby gęstym zbiorem typu $G_{\sigma }.$ Wówczas $ℝ$ dałby się przedstawić jako suma dwóch rozłącznych zbiorów gęstych typu $G_{\delta },$ co wobec twierdzenia Baire’a jest niemożliwe.