Przestrzeń zupełna w sensie Čecha

Przestrzeń zupełna w sensie Čecha (albo topologicznie zupełna) – całkowicie regularna przestrzeń topologiczna $(X,\tau )$ która jest podzbiorem typu G_δ pewnego swego uzwarcenia T₂.

Pojęcie przestrzeni topologicznie zupełnej było wprowadzone przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha w 1937.

Przykłady

Następujące przestrzenie są zupełne w sensie Čecha:

• prosta rzeczywista $ℝ$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych ${ℝ}^n,$
• każda przestrzeń dyskretna,
• każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna,
• każda lokalnie zwarta przestrzeń T₂.

Własności

• Całkowicie regularna przestrzeń topologiczna $X$ jest zupełna w sensie Čecha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona podzbiorem typu G_δ swego uzwarcenia Čecha-Stone’a.
• Przestrzeń metryzowalna jest zupełna w sensie Čecha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona metryzowalna w sposób zupełny.
• Każda przestrzeń topologicznie zupełna jest przestrzenią Baire’a.
• Jeśli topologicznie zupełna przestrzeń $X$ jest podprzestrzenią całkowicie regularnej przestrzeni $Y,$ to $X$ jest podzbiorem typu G_δ swego domknięcia ${\mathrm{c}\mathrm{l}}_Y(X).$

Zobacz też

• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń zwarta
• uzwarcenie przestrzeni
• uzwarcenie Čecha-Stone’a
• twierdzenie Baire’a