Zasada Cavalieriego

Fragmenty pracy Cavalieriego Geometria indivisibilibus quadam ratione promota

Zasada Cavalieriego – metoda obliczania objętości brył przestrzennych, odkryta przez Archimedesa i opisana ponownie przez XVII-wiecznego matematyka włoskiego, Bonaventurę Cavalieriego. Obecnie uogólniona na wielowymiarową miarę Lebesgue’a oraz abstrakcyjne przestrzenie z miarą produktową. Zasada Cavalieriego, w swoim oryginalnym sformułowaniu, mówi że:

Jeśli dwie bryły mają tę własność, że ich przekroje wszystkimi płaszczyznami równoległymi do jednej, z góry ustalonej płaszczyzny, mają te same pola, to te bryły mają równe objętości.

Twierdzenie to zwykle wystarcza do obliczania objętości znanych brył, jak np. stożek czy elipsoida, jednak może być w naturalny sposób uogólnione na język współczesnej matematyki.

Wstępne definicje

Niech $N,N_1,N_2$ będą takimi liczbami naturalnymi, że $N=N_1+N_2.$ Wówczas można dokonać utożsamienia:

${ℝ}^N={ℝ}^{N_1}\times {ℝ}^{N_2}.$

Niech $A\subseteq {ℝ}^N,x_1\in {ℝ}^{N_1},x_2\in {ℝ}^{N_2}$ oraz $x=(x_1,x_2)$ oznacza element przestrzeni ${ℝ}^N.$ Zbiory

• $A_{x_1}=\{x_2\in {ℝ}^{N_2}:(x_1,x_2)\in A\},$
• $A^{x_2}=\{x_1\in {ℝ}^{N_1}:(x_1,x_2)\in A\}$

nazywane są, odpowiednio, cięciem górnym (wzdłuż punktu $x_1)$) i cięciem dolnym (wzdłuż punktu $x_2$) zbioru $A.$

Niech ponadto

• ${\pi }_1(A)=\{x_1\in {ℝ}^{N_1}:(\mathrm{\exists }{x}_2\in {ℝ}^{N_2})(x_1,x_2)\in A\},$
• ${\pi }_2(A)=\{x_2\in {ℝ}^{N_2}:(\mathrm{\exists }{x}_1\in {ℝ}^{N_1})(x_1,x_2)\in A\},$

tzn. ${\pi }_1(A),{\pi }_2(A)$ są rzutowaniami zbioru $A$ na przestrzenie, odpowiednio, ${ℝ}^{N_1}$ i ${ℝ}^{N_2}.$ Symbolami ${ℒ}_N,{ℒ}_{N_1},{ℒ}_{N_2}$ oznaczane tu będą σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a względem, odpowiednio, $N\text{-},$ $N_1\text{-}$ i $N_2$-wymiarowej miary Lebesgue’a $l_N,l_{N_1},l_{N_2}.$

Zasada Cavalieriego

Jeśli $A\in {ℒ}_N,$ to

• dla prawie wszystkich $x_1\in {ℝ}^{N_1}$ zbiór $A_{x_1}$ jest mierzalny w sensie $N_2$-wymiarowej miary Lebesgue’a,
• funkcja $x_1\mapsto l_2(A_{x_1})$ jest mierzalna,
• $l_N(A)=\underset{{ℝ}^{N_1}}{\int }{l}_{N_2}(A_{x_1})d{l}_{N_1}(x_1).$

Jeżeli ponadto, ${\pi }_1(A)\in {ℒ}_{N_1},$ to

$l_N(A)=\underset{{\pi }_1(A)}{\int }{l}_{N_2}(A_{x_1})d{l}_{N_1}(x_1).$

Komentarze

• Cięcia $A_{x_1},A^{x_2}$ są mierzalne dla prawie wszystkich $x_1\in {ℝ}^{N_1},x_2\in {ℝ}^{N_2}.$ Jest to konsekwencją faktu, iż σ-ciało produktowe ${ℒ}_{N_1}\otimes {ℒ}_{N_2}$ jest zawarte w sposób właściwy w ${ℒ}_N,$ tzn. istnieją takie zbiory postaci $A\times B\in {ℒ}_N,$ gdzie $A\subseteq {ℝ}^{N_1},B\subseteq {ℝ}^{N_2},$ że zbiór $A$ lub zbiór $B$ nie jest mierzalny względem odpowiedniego σ-ciała.

• Zasadę Cavalieriego używa się często do dowodu twierdzenia Fubiniego – z drugiej strony, jeżeli dowód twierdzenia Fubiniego prowadzony jest bez jej to użycia, to wtedy można uznać ją za wniosek tego twierdzenia.

Zobacz też

• twierdzenie Fubiniego
• twierdzenie Guldina

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta