Pole relacji

Pole relacji – suma dziedziny i przeciwdziedziny relacji binarnej.

Definicje

Jeśli $R$ jest relacją dwuczłonową (dwuargumentową), to polem relacji $R$ nazywamy zbiór

$\{x:(\mathrm{\exists }y\left)\right((x,y)\in R\left)\right\}\cup \{y:(\mathrm{\exists }x\left)\right((x,y)\in R\left)\right\}.$

Przypomnijmy, że $\{x:(\mathrm{\exists }y\left)\right((x,y)\in R\left)\right\}$ to dziedzina relacji $R$ a $\{y:(\mathrm{\exists }x\left)\right((x,y)\in R\left)\right\}$ to przeciwdziedzina relacji $R$.

Pojęcie pola relacji można uogólnić na przypadek relacji wieloczłonowych. Jeśli $\rho$ jest relacją k-argumentową, to definiujemy jej rzuty na poszczególne osie oraz jej pole w następujący sposób.

• Dla $i\in \{1,\dots ,k\},$ rzut relacji $\rho$ na $i$-tą oś to zbiór

$D_i(\rho )=\{x:(\mathrm{\exists }{x}_1,\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_k\left)\right((x_1,\dots ,x_{i-1},x,x_{i+1},\dots ,x_k)\in \rho \left)\right\}.$

• Pole relacji $\rho$ to zbiór

$D_1(\rho )\cup D_2(\rho )\cup \dots \cup D_k(\rho ).$

Uwaga terminologiczna

Termin pole relacji jest rzadko używany, bowiem zamiast mówić „zbiór $X$ jest polem relacji $R$”, zwykle stwierdzamy iż „$R$ jest relacją na zbiorze $X$”. Zwróćmy jednak uwagę, że drugie określenia daje nam mniej informacji niż pierwsze, jako że stwierdza ono jedynie że $R\subseteq X\times X.$

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski i Andrzej Mostowski, Teoria mnogości wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości, „Monografie Matematyczne”, tom 27, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 76.