Granica i kogranica

Granica i kogranica – w teorii kategorii dwie dualne względem siebie konstrukcje będące pewnego rodzaju uogólnieniem pojęć produktu, produktu włóknistego (pull-backu) i ekwalizatora w przypadku granicy oraz pojęć dualnych do wymienionych: koproduktu, koproduktu włóknistego (push-outu) czy koekwalizatora w przypadku kogranicy.

Definicje

Diagram prezentujący warunki zgodności i uniwersalności.

Granice w kategorii $𝒞$ definiuje się za pomocą pojęcia diagramu w $𝒞.$ Granicą diagramu $F:ℐ\to 𝒞$ nazywa się dowolny obiekt $L$ kategorii $𝒞$ wraz z morfizmami ${\varphi }_i:L\to F(i)$ dla każdego obiektu $i$ kategorii $ℐ$ spełniający następujące warunki:

• zgodność,

  dla każdego morfizmu $f:i\to j$ w $ℐ$ zachodzi równość $F(f)\circ {\varphi }_i={\varphi }_j;$

• uniwersalność,

  dla dowolnego innego obiektu $L^{\prime }$ wraz z rodziną morfizmów ${\psi }_i:L^{\prime }\to F(i)$ spełniającego powyższy warunek zgodności istnieje jeden i tylko jeden taki morfizm $u:L^{\prime }\to L,$ że dla każdego $i$ zachodzi ${\psi }_i={\varphi }_i\circ u.$

Obiekty $N$ wraz z rodziną morfizmów spełniające warunek zgodności nazywa się stożkami nad diagramem $F.$ Stożki nad ustalonym diagramem w $𝒞$ tworzą kategorię, w której morfizmy $u:M\to N$ tej kategorii między pewnymi stożkami $(M,{\varphi }_i)$ spełniają ${\psi }_i={\varphi }_i\circ u.$ Wynika stąd, że granice diagramów to obiekty końcowe w kategorii stożków, zatem są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Kogranicę w kategorii $𝒞$ można zdefiniować jako granicę w kategorii przeciwnej ${𝒞}^{*},$ bądź wprost: wprowadzając analogicznie pojęcie kostożka diagramu i definiując kogranicę jako obiekt początkowy w kategorii kostożków.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę