Lemat Yonedy

Lemat Yonedy – podstawowe narzędzie w wielu zagadnieniach teorii kategorii i w jej zastosowaniach do innych dziedzin matematyki, zwłaszcza do geometrii algebraicznej. Lemat ten dotyczy funktorów reprezentowalnych poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami) i opisuje ogólną postać transformacji naturalnych tych funktorów. Stosuje się go m.in. przy zanurzaniu danej kategorii w kategorię funktorów oraz przy pewnych zagadnieniach jednoznacznej faktoryzacji.

Sformułowanie lematu Yonedy

Załóżmy, że $𝔄$ jest kategorią lokalnie małą. Zbiór morfizmów $X\to Y$ kategorii $𝔄$ będziemy oznaczać symbolem $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,Y).$ Symbolem $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,-)$ oznaczymy kowariantny funktor główny, przyporządkowujący każdemu morfizmowi $g:X\to Y$ indukowane przekształcenie $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,g)$ zbioru $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,X)$ w zbiór $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,Y)$ określone wzorem $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,g)(\lambda )=g\circ \lambda$ dla $\lambda \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,X).$

Lemat YonedySzablon:OdnSzablon:Odn. Załóżmy, że $A$ jest ustalonym obiektem w $\mathrm{O}\mathrm{b}𝔄,$ $F:𝔄\to 𝐒𝐞𝐭$ jest funktorem kowariantnym, a $\mathrm{\Phi }=\{{\mathrm{\Phi }}_X{\}}_{X\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔄}$ jest transformacją naturalną ${\mathrm{\Phi }}_X:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,X)\to F(X)$ funktora $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,-)$ w funktor $F.$ Wówczas istnieje dokładnie jeden element $u\in F(A)$ taki, że Szablon:Wzór

gdzie element $u$ dany jest wzorem Szablon:Wzór

Odwrotnie, jeśli $F:𝔄\to 𝐒𝐞𝐭$ jest dowolnym funktorem kowariantnym, $A\in \mathrm{O}\mathrm{b}𝔄$ i określimy element $u$ wzorem Szablon:LinkWzór to Szablon:LinkWzór wyznacza transformację naturalną ${\mathrm{\Phi }}_X:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,X)\to F(X).$ Ponadto przyporządkowanie $\mathrm{\Phi }\leftrightarrow u$ jest wzajemnie jednoznaczne.

Proof of Yoneda’s lemma

Na powyższym schemacie diagram zewnętrzny ilustruje złożenia morfizmów (jest przemienny na mocy definicji transformacji naturalnej), a diagram wewnętrzny ilustruje przyporządkowania elementów.

Dowód lematu Yonedy polega na bezpośrednim sprawdzeniu ujawniających się tu zależności.

Kontrawariantna wersja lematu Yonedy dotyczy kontrawariantnego funktora głównego $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,A).$ Rozumowania są analogiczne.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii, skrypt dla studentów Wydziału MIM UW, 29 listopada 2019 [dostęp 2021-08-17].