Ciało liczbowe

Ciało liczbowe – każde ciało będące skończonym rozszerzeniem algebraicznym ciała liczb wymiernych $\mathbb{Q}.$ Innymi słowy, jest to ciało zawierające $\mathbb{Q}$ jako podciało oraz którego wymiar jako przestrzeni wektorowej nad $\mathbb{Q}$ jest skończony.

Badanie własności ciał liczbowych jest głównym motywem algebraicznej teorii liczb.

Stopień, reprezentacja regularna, ślad i norma

Każde ciało liczbowe $K$ jest przestrzenią liniową nad $\mathbb{Q},$ które jest jego podzbiorem. Wymiar tej przestrzeni oznaczamy jako $[K:\mathbb{Q}]$ i nazywamy stopniem rozszerzenia ciała $K,$ z zaznaczeniem, o ile to nie jest jasne z kontekstu, że chodzi o stopień rozszerzenia liczb wymiernych lub krótko stopień nad $\mathbb{Q}.$

Załóżmy, że $K$ jest ciałem liczbowym o stopniu rozszerzenia (nad $\mathbb{Q}$) równym $n.$ Ponieważ $K$ jest $n$-wymiarową przestrzenią wektorową nad $\mathbb{Q},$ to możemy wybrać (na ogół na wiele sposobów) bazę $e_1,e_2,\dots ,e_n\in K$ tej przestrzeni. Jak wiadomo z elementarnej algebry liniowej, każdy element $x\in K$ ma jednoznaczną reprezentację w tej bazie, tzn. jednoznacznie wyznaczony ciąg $x_1,x_2,\dots ,x_n\in \mathbb{Q}$ taki, że $x_1{e}_1+x_2{e}_2+\dots +x_n{e}_n=x.$ Reprezentacja regularna elementu $x$ to macierz $A=\{a_{ij}\},$ która powstaje poprzez pomnożenie go przez poszczególne elementy bazy:

$x{e}_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{e}_j,a_{ij}\in \mathbb{Q}.$

Łatwo pokazać, że dla dwóch elementów $x,y\in K$ i ich reprezentacji regularnych $A(x),A(y),$ zachodzi $A(xy)=A(x)A(y),$ tzn. mnożeniu elementów odpowiada mnożenie macierzy je reprezentujących. Ponadto można udowodnić, że niezmienniki owych macierzy, takie jak ślad i wyznacznik i wielomian charakterystyczny nie zależą od wyboru konkretnej bazy $\{e_i\},$ a tylko od elementu $x\in K.$ Tak więc możemy przyjąć poniższe definicje śladu i normy elementu ciała algebraicznego:

$Tr(x)=Tr(A(x))$

$N(x)=N(A(x))$

Trywialne wnioski z tych definicji to:

$Tr(x+y)=Tr(x)+Tr(y)$

$Tr(\lambda x)=\lambda Tr(x)$

$N(xy)=N(x)N(y)$

$N(\lambda x)={\lambda }^{n}N(x)$

gdzie $\lambda$ jest dowolnym elementem $K,$ zaś $n=[K:\mathbb{Q}].$

Zobacz też

• ciało cyklotomiczne
• ciało globalne
• ciało kwadratowe
• ciało lokalne
• rozszerzenie abelowe
• teoria ciała klas
• teoria Galois
• teoria Iwasawy