Ciało globalne

Ciała globalne – skończone rozszerzenia ciała liczb wymiernych (zwane ciałami liczb algebraicznych) oraz ciała ${𝔽}_q(t)$ funkcji wymiernych jednej zmiennej nad ciałami $q$-elementowymi (zwane globalnymi cialami funkcyjnymi).

Przykłady

• kwadratowe ciała liczbowe $\mathbb{Q}(\sqrt{d}),$ gdzie d jest liczbą całkowitą niebędącą kwadratem żadnej liczby naturalnej różnej od 1, np. $\mathbb{Q}(\sqrt{2}),$
• ciała funkcji algebraicznych nad ciałem skończonym takie jak ${𝔽}_{25}(t)(\sqrt{1-t^2}).$

Te dwie klasy ciał wyróżnia się, bo po pierwsze mają dużo nierównoważnych metryk zgodnych z działaniami (norm, waluacji), a po drugie szereg obiektów związanych z ciałami dla ciał globalnych można wyznaczyć badając (prostsze) obiekty związane z ich uzupełnieniami we wszystkich metrykach. Takie uzupełnienie jest ciałem lokalnym.

Na przykład w ciele liczb wymiernych można wprowadzić dokładnie jedną metrykę archimedesową, którą jest wartość bezwzględna różnicy:

$\varrho (x,y)=|x-y|,x,y\in \mathbb{Q}$

Uzupełnieniem przestrzeni $(\mathbb{Q},\varrho )$ jest zbiór liczb rzeczywistych, który sam jest ciałem (z naturalnie wprowadzonymi działaniami),

Dla każdej liczby pierwszej p można natomiast wprowadzić, tzw. metrykę p-adyczną

${\varrho }_p(x,y)=|x-y{|}_p,x,y\in \mathbb{Q}$

gdzie:

$|0{|}_p=0$

$|r{|}_p=p^{-w_p(r)}$

oraz $w_p(r)$ jest wykładnikiem przy podstawie $p$ w rozkładzie liczby wymiernej r na czynniki pierwsze:

$r=\mathrm{sgn}(r)\cdot 2^{w_2(r)}\cdot 3^{w_3(r)}\cdot 5^{w_5(r)}\cdot 7^{w_7(r)}\cdot \dots$

Uzupełnieniem przestrzeni $(\mathbb{Q},{\varrho }_p)$ jest ciało liczb p-adycznych.

Grupa multiplikatywna, Brauera, Witta itd. ciała liczb wymiernych jest (izomorficzna z) podgrupą produktu grup multiplikatywnych, Brauera, Witta itd. jego uzupełnień. Grupy Brauera czy Witta ciał lokalnych można wyznaczyć stosunkowo łatwo.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę