Ciało ułamków

Ciało ułamków pierścienia całkowitego – ciało, konstruowalne dla danego pierścienia całkowitego $\Re ,$ o tej własności, że pierścień ten zanurza się w nim izomorficznie. Innymi słowy, ciało ułamków pierścienia całkowitego $\Re$ to pierścień ułamków zdefiniowany względem podzbioru multyplikatywnego $\Re \setminus \{0\},$ czyli na dziedzinie całkowitości.

Obiekt ten nazywany jest ciałem ułamków pierścienia całkowitego lub ciałem ułamków dziedziny całkowitości.

Konstrukcja

Mając daną dziedzinę całkowitości $\Re ,$ konstruuje się ciało ułamków tego pierścienia w następujący sposób. W zbiorze $\Re \times (\Re \setminus \{0\})$ określa się następującą relację:

$(a,b)\wr (c,d)\iff ad=bc$.

Relacja $\wr$ jest:

• zwrotna, ponieważ: $ab=ba\Rightarrow (a,b)\wr (a,b);$
• symetryczna, ponieważ: $(a,b)\wr (c,d)\Rightarrow ad=bc\Rightarrow cb=da\Rightarrow (c,d)\wr (a,b);$
• przechodnia, ponieważ:

$(a,b)\wr (c,d)\wedge (c,d)\wr (e,f)\Rightarrow ad=bc\wedge cf=de\Rightarrow adf=bcf\wedge bcf=bde\Rightarrow adf=bde\stackrel{d\ne 0}{\Rightarrow }af=be\Rightarrow (a,b)\wr (e,f)$.

Zatem jest to relacja równoważności.

Skonstruujmy zbiór ilorazowy (zbiór klas abstrakcji relacji $\wr$) następująco:

$𝔘(\Re ):=(\Re \times (\Re \setminus \{0\})){/}_{\wr }$,

ze zdefiniowanymi w nim dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia klas abstrakcji:

$[(a,b){]}_{\wr }\oplus [(c,d){]}_{\wr }=[(ad+bc,bd){]}_{\wr }[(a,b){]}_{\wr }\odot [(c,d){]}_{\wr }=[(ac,bd){]}_{\wr }$.

Powstała struktura $𝔘(\Re ),$ wraz z określonymi na niej działaniami, jest ciałem i nazywana jest ciałem ułamków pierścienia $\Re$.

Ułamki

Elementy ciała ułamków pierścienia całkowitego nazywa się ułamkami, a klasę $[(l,m){]}_{\wr }$ zapisuje się zwyczajowo jako $\frac{l}{m}$, przy czym liczbę $l$ nazywa się licznikiem, a $m$ – mianownikiem.

Zanurzenie izomorficzne

Zdefiniujmy funkcję $\phi :\Re \to 𝔘(\Re )$ następująco:

$\phi (x):=[(x,\tilde{1}){]}_{\wr },$ gdzie $\tilde{1}$ jest jedynką pierścienia.

Funkcja ta jest izomorficznym zanurzeniem pierścienia $\Re$ w ciało ułamków. Umożliwia to utożsamienie elementów dziedziny całkowitości $\Re$ z odpowiednimi ułamkami ciała $𝔘(\Re )$.

Przykłady

• Ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ jest izomorficzne z ciałem liczb wymiernych $\mathbb{Q}$.
• Ciało ułamków pierścienia $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ jest izomorficzne z ciałem $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.
• Ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych Gaussa $\mathbb{Z}[i]$ jest izomorficzne z ciałem Gaussa $\mathbb{Q}(i)$.
• Ciało ułamków pierścienia wielomianów stanowiącego dziedzinę całkowitości jest izomorficzne z ciałem wyrażeń wymiernych.
  • W szczególności, ciało ułamków pierścienia wielomianów rzeczywistych jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych rzeczywistych.
• Ciała ułamków pierścienia wielomianów całkowitych i pierścienia wielomianów wymiernych są izomorficzne.

Twierdzenia

• Jeśli pierścienie całkowite są izomorficzne, to ich ciała ułamków również.
• Ciało ułamków dowolnego ciała $𝕂$ jest izomorficzne z ciałem $𝕂$.
• Ciało ułamków niezerowego ideału pierścienia całkowitego $\Re$ jest izomorficzne z ciałem ułamków tego pierścienia.
• Ciało ułamków dziedziny całkowitości $\Re$ to jedyne (z dokładnością do izomorfizmu) najmniejsze (w sensie inkluzji) ciało, w które zanurza się pierścień $\Re$.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Field of fractions Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].