Liczby całkowite Gaussa

Liczby pierwsze Gaussa mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa zostały wyróżnione kolorem zielonym.

Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) – liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb{Z}\wedge i^2=-1\}$.

Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa. Zbiór liczb całkowitych Gaussa nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy zbiór liczb całkowitych jest takim pierścieniem.

Elementami odwracalnymi pierścienia $\mathbb{Z}[i]$ są: $1,-1,i,-i$. Mnożenie przez element odwracalny nie zmienia modułu liczby całkowitej Gaussa. Elementy odwracalne z działaniem mnożenia tworzą grupę czteroelementową izomorficzną grupie cyklicznej czteroelementowej. Generatorami tej grupy są $-i$ oraz $+i.$ Grupa ta działa na $\mathbb{Z}[i]$ i można ją interpretować geometrycznie jako grupę obrotów generowaną przez obrót dokoła początku układu współrzędnych o kąt prosty (obrót ten odpowiada mnożeniu przez $+i$). Poza orbitą jednoelementową {0} orbity tego działania są czteroelementowe, po jednym elemencie w każdej z ćwiartek układu współrzędnych, a dokładniej w zbiorach

$\{x+yi:x>0,y⩾0\}$ (I ćwiartka),

$\{x+yi:x⩽0,y>0\}$ (II ćwiartka),

$\{x+yi:x<0,y⩽0\}$ (III ćwiartka),

$\{x+yi:x⩾0,y<0\}$ (IV ćwiartka).

Elementy pierwsze pierścienia $\mathbb{Z}[i]$ są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa. Mają one głęboki związek z liczbami pierwszymi pierścienia $\mathbb{Z}$ oraz ze starym pytaniem Diofantosa o liczby całkowite dodatnie, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych. Liczby pierwsze w $z=x+yi\in \mathbb{Z}[i]$ można opisać w następujący sposób:

1. Jeśli kwadrat modułu $|z{|}^2=x^2+y^2$ liczby $z$ jest w $\mathbb{Z}$ liczbą pierwszą postaci $4n+1$ (gdzie $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$), to $z$ jest liczbą pierwszą w $\mathbb{Z}[i].$ Każda liczba pierwsza w ${\mathbb{Z}}_{+}$ postaci $4n+1$ rozkłada się na iloczyn dwóch liczb pierwszych Gaussa.
2. Liczba 2 jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej $1+i\in \mathbb{Z}[i].$
3. Liczba pierwsza w $\mathbb{Z}$ postaci $4n+3$ jest liczbą pierwszą w $\mathbb{Z}[i].$

Każda liczba pierwsza Gaussa jest jednego z trzech powyższych typów z dokładnością do mnożenia przez element odwracalny $(1,-1,i,-i).$

Przykłady

• Liczby 3, 7, 11, 19 są liczbami pierwszymi Gaussa.
• Liczbie pierwszej 5 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa $1+2i,1-2i.$
• Liczbie pierwszej 13 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa $2+3i,2-3i.$
• Liczbie pierwszej 17 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa $1+4i,1-4i.$
• Ponieważ moduł iloczynu liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb, więc jeśli $u=a+bi$ i $v=c+di,$ to

$(a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2)=|u{|}^2\cdot |v{|}^2=|uv{|}^2=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2,$

czyli dla dowolnych liczb całkowitych $a,b,c,d$

$(a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę