Pierścień uporządkowany

Pierścieniem uporządkowanym – pierścień przemienny $R$ z określonym porządkiem liniowym $\le$ spełniającym dla dowolnych $a,b,c\in R$ warunki

• $a⩽b⟹a+c⩽b+c,$
• $(0⩽a\wedge 0⩽b)⟹0⩽ab.$

Niezerowy element $a\in R$ nazywany jest dodatnim (odpowiednio, ujemnym), gdy $0⩽a(a⩽0).$ Wartością bezwzględną elementu $a\in R$ nazywany jest element

$|a|=\{\begin{array}{cc}a,& \text{gdy }0⩽a,\\ -a,& \text{w przeciwnym wypadku},\end{array}$

gdzie $-a$ oznacza element odwrotny do elementu $a$ względem dodawania.

Przykłady

Pierścieniami uporządkowanymi są: pierścień liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem, pierścień liczb wymiernych i pierścień liczb rzeczywistych ze zwykłymi porządkami (dwa ostatnie przykłady są nawet ciałami uporządkowanymi).

Pierścienia uporządkowanego nie tworzą natomiast liczby zespolone.

Własności

W poniższych twierdzeniach przyjmujemy, że $R$ jest pierścieniem uporządkowanym.

• Dla dowolnych $a,b,c\in R$ zachodzi:

$(a⩽b\wedge 0⩽c)⟹a\cdot c⩽b\cdot c.$

• Dla dowolnych $a,b\in R$ spełniony jest warunek

$|a\cdot b|=|a|\cdot |b|.$

• Nietrywialny pierścień uporządkowany (czyli taki, który ma więcej niż jeden element) ma nieskończenie wiele elementów.
• Jeśli $a\in R,$ to albo $0<a,$ albo $0<-a,$ albo $a$ (gdzie przez $x<y$ rozumie się relację $x⩽y$ i $x\ne y$).
• Pierścień uporządkowany $R$ nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów dodatnich $a,b\in R,$ dodatni jest również ich iloczyn $a\cdot b.$
• W pierścieniu uporządkowanym żaden element ujemny nie jest kwadratem innego elementu.

Zobacz też

• ciało uporządkowane
• grupa uporządkowana