Element pierwszy

Element pierwszy – uogólnienie pojęcia liczby pierwszej.

Definicja

Elementem pierwszym dziedziny całkowitości $\mathrm{R}$ nazywamy taki niezerowy element $x\in \mathrm{R},$ który nie jest dzielnikiem jedności i dla dowolnych dwóch elementów $a,b\in \mathrm{R}$ jeśli $x$ dzieli iloczyn $ab,$ to $x$ dzieli $a$ lub $x$ dzieli $b$.

Własności

• Jeżeli $x\in \mathrm{R}$ jest elementem pierwszym $\mathrm{R}$ i dzieli iloczyn dowolnej ilości czynników z $\mathrm{R},$ to dzieli on co najmniej jeden z tych czynników.
• Każdy element pierwszy jest elementem nierozkładalnym, natomiast nie każdy element nierozkładalny jest elementem pierwszym.
• Dla pierścieni z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest także pierwszy – pojęcia te są wtedy równoważne.
• Ideał generowany przez element pierwszy jest ideałem pierwszym.