Pierścień z jednoznacznością rozkładu

Pierścień z jednoznacznością rozkładu, pierścień Gaussa, UFD (ang. unique factorization domain^[1]) – pierścień przemienny, którego każdy element nieodwracalny może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników. Pierścienie te uogólniają pierścień liczb całkowitych w ten sposób, że spełniają one także tezę podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Poniższy ciąg zawierań zbiorów obrazuje pewne szczególne przypadki pierścieni z jednoznacznością rozkładu:

pierścienie z jednoznacznością rozkładu ⊃ dziedziny ideałów głównych ⊃ pierścienie euklidesowe ⊃ ciała

Definicja

Dziedzina całkowitości $R$ nazywana jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy

dla dowolnego niezerowego elementu nieodwracalnego $a \in R$ istnieją elementy nierozkładalne $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in R$ takie, że $a = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n} .$
jeżeli $a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n} = b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{m},$ gdzie wszystkie elementy $a_{i}, b_{i}$ są nierozkładalne, to $m = n$ i istnieje permutacja $π$ taka, że $a_{i} \sim b_{π (i)},$ to znaczy elementy te są stowarzyszone.

Jeżeli $R$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to istnieje w nim największy wspólny dzielnik.
Twierdzenie Gaussa: Jeżeli $R$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, pierścień wielomianów $R [x]$ również jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.
W pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy.