Wzór de Moivre’a

Abraham de Moivre

Wzór de Moivre’a – wzór na potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej, tj. w postaci

$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$

(1) Jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą, to n-tą potęgę liczby z określa wzór:

$z^n=|z{|}^n(\cos n\phi +i\sin n\phi ).$

(2) Jeżeli wykładnik potęgi jest odwrotnością liczby naturalnej, postaci 1/n, to obliczanie potęgi oznacza obliczanie pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej (analogicznie jak dla liczb rzeczywistych), przy czym w dziedzinie liczb zespolonych każda liczba z ma n pierwiastków stopnia n-tego. Określa je wzór:

$z_{(k)}^{\frac{1}{n}}=|z{|}^{\frac{1}{n}}[\cos \left(\frac{\phi +2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{\phi +2k\pi }{n}\right)],$ $k\in \{0,\dots ,n-1\}$ .

Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wiekuSzablon:R. Na początku XIX stulecia upowszechniło się nazywanie tego wzoru od jego nazwiska.

Postacie wykładnicze wzorów de Moivre’a

W zapisie wykładniczym powyższe wzory mają postacie:

$z=|z|\cdot e^{i\varphi }$ - postać wykładnicza liczby zespolonej,

$z^n=|z{|}^n\cdot e^{in\varphi }$ - potęga n-ta liczby zespolonej,

$z_{(k)}^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{|z|}\cdot e^{i(\varphi +2\pi \cdot k)/n},k\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}$ - pierwiastki n-te liczby zespolonej.

Dowód

Dla $n=1$ wzór jest oczywisty.

Niech wzór jest prawdziwy dla $n=k,$ tzn.

$z^k=|z{|}^k(\cos k\phi +i\sin k\phi ).$

Wówczas dla $n=k+1$ dostaniemy

$\begin{array}{cc}{z}^{k+1}& =z^{k}z=|z{|}^k(\cos k\phi +i\sin k\phi )\cdot |z|(\cos \phi +i\sin \phi )\\ & =|z{|}^{k+1}(\cos k\phi \cos \phi +i\cos k\phi \sin \phi +i\sin k\phi \cos \phi -\sin k\phi \sin \phi )\\ & =|z{|}^{k+1}(\cos k\phi \cos \phi -\sin k\phi \sin \phi +i(\sin k\phi \cos \phi +\cos k\phi \sin \phi ))\\ & =|z{|}^{k+1}(\cos (k+1)\phi +i\sin (k+1)\phi ).\end{array}$

Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego $n.$

Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych:

$z^{-n}={\left(z^{-1}\right)}^n={\left(\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}\right)}^n=\frac{|z{|}^n{(\cos \phi -i\sin \phi )}^n}{|z{|}^{2n}}=|z{|}^{-n}(\cos (-n\phi )+i\sin (-n\phi )).$

Uwagi

Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1

Liczba 1 ma w dziedzinie liczb zespolonych n pierwiastków stopnia n-tego

$1_{(k)}^{\frac{1}{n}}={\sqrt[n]{1}}_{(k)}=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n},k\in \{0,\dots ,n-1\}.$

Interpretacja pierwiastków zespolonych $z^{\frac{1}{n}}$ w płaszczyźnie zespolonej

Pierwiastki 5-tego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Jeżeli liczbę zespoloną $z$ zinterpretuje się jako wektor na płaszczyźnie zespolonej, to pierwiastek n-tego stopnia $z^{\frac{1}{n}}$ z liczby $z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$ jest zbiorem $n$ wektorów, których końce są rozłożone równomiernie co kąt $\mathrm{\Delta }\alpha =2\pi /n$ na okręgu o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $R=|z{|}^{1/n}$, przy czym pierwszy wektor jest nachylony do osi rzeczywistej pod katem ${\varphi }_0=\varphi /n$.

Np. Pierwiastki 5-tego stopnia z liczby $z=1$ układają się na okręgu o promieniu $R=1$, $\mathrm{\Delta }\alpha =2\pi /5=72^0$, ${\varphi }_0=\varphi /n=0,$ (gdyż $\varphi =0$, $|z|=1$).

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, Liczby zespolone cz. III. Wzór de Moivre’a, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].