Grupa Prüfera

2-grupa Prüfera $⟨g_n:g_{n+1}^2=g_n,g_1^2=e⟩.$

Grupa Prüfera, p-grupa Prüfera a. grupa p-quasicykliczna – dla ustalonej liczy pierwszej p, wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) grupa torsyjna, w której każdy niezerowy element ma p pierwiastków p-tego stopnia. Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Prüfera.

• p-grupa Prüfera może być reprezentowana jako podgrupa grupy okręgu jednostkowego $\mathrm{U}(1)$ jako zbiór wszystkich możliwych pierwiastków z jedynki stopnia $p^n$ przy $n$ przebiegającym wszystkie nieujemne liczby całkowite:

$\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }})=\{e^{2\pi in/p^m}:n,m=1,2,3,\dots \}.$

• Z drugiej strony p-grupę Prüfera można postrzegać jako p-podgrupę Sylowa grupy $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ składającą się ze wszystkich elementów rzędu wyrażającego się jako potęga $p:$

$\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }})=\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}.$

• Istnieje następująca prezentacja p-grupy Prüfera (w zapisie addytywnym):

$\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }})=⟨x_1,x_2,\dots :p{x}_1=0,p{x}_2=x_1,p{x}_3=x_2,\dots ⟩.$

• p-grupa Prüfera jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) nieskończoną p-grupą, która jest grupą lokalnie cykliczna (dowolny podzbiór skończony grupy generuje grupę cykliczną). Innymi słowy p-grupa jest p-grupą Prüfera wtedy i tylko wtedy, gdy jej każda podgrupa właściwa jest cykliczna oraz dla każdej liczby naturalnej $k$ istnieje w niej podgrupa rzędu $p^k.$

• p-grupa Prüfera jest podzielna.

• p-grupy Prüfera, dla wszystkich liczb pierwszych p, są jedynymi grupami nieskończonymi, których podgrupy są liniowo uporządkowane przez inkluzję. Ponieważ p-grupy Prüfera nie zawierają podgrup maksymalnych, to są one swoimi własnymi podgrupami Frattiniego. Poniższy ciąg zawierań przedstawia p-grupę Prüfera jako granicę prostą swoich podgrup skończonych:

$\{0\}\subset \mathbb{Z}/p\subset \mathbb{Z}/p^2\subset \mathbb{Z}/p^3\subset \dots \subset \mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }}).$

• W teorii lokalnie zwartych grup topologicznych p-grupa Prüfera (wyposażona w topologię dyskretną) jest sprzężona w sensie Pontriagina do grupy zwartej p-adycznych liczb całkowitych, odwrotnie: p-grupa Prüfera jest sprzężeniem w sensie Pontryagina grupy p-adycznych liczb całkowitych.

• Jako $\mathbb{Z}$-moduł p-grupa Prüfera jest modułem artinowskim, lecz nie noetherowskim; podobnie jako grupa: jest ona artinowska, ale nie noetherowska (podgrupy grupy abelowej są abelowe i pokrywają się z odpowiednimi podmodułami tej grupy traktowanej jako $\mathbb{Z}$-moduł). Ten fakt może służyć jako kontrprzykład na to, iż nie każdy moduł artinowski jest zarazem noetherowski (choć każdy pierścień artinowski jest noetherowski).

Zobacz też

• p-adyczne liczby całkowite, które można zdefiniować jako granicę odwrotną skończonych podgrup p-grup Prüfera
• diadyczne liczby wymierne, czyli liczby wymierne postaci $a/2^b;$ 2-grupę Prüfera można postrzegać jako diadyczne liczby wymierne modulo 1

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Odsyłacz planetmath
• Szablon:Springer