Pierścień artinowski

Pierścień artinowski – pierścień $R,$ w którym każdy zstępujący (w sensie inkluzji) ciąg $I_1\supset I_2\supset I_3\supset \dots$ ideałów pierścienia $R$ stabilizuje sięSzablon:Odn. Pojęcie pierścienia artinowskiego zostało wprowadzone w 1944 roku przez Emila Artina.

Stabilizowanie się ciągu ideałów $I_i\subset R$ oznacza, że:

${\mathrm{\exists }}_{k\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n>k}{I}_n=I_k$Szablon:Odn.

Jeśli dziedzina całkowitości $R$ jest pierścieniem artinowskim, to $R$ jest ciałemSzablon:Odn. By udowodnić to twierdzenie, wystarczy rozpatrzeć ciąg $sR\supset s^{2}R\supset \dots ,$ (dla dowolnego $s\in R\setminus \{0\}$) i pokazać, że $s$ jest elementem odwracalnymSzablon:OdnSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Artinian ring Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].