Granica odwrotna

Granica odwrotna (granica projektywna) – jedno z fundamentalnych pojęć teorii kategorii, wykorzystywane w wielu dziedzinach matematyki, na przykład w topologii czy algebrze. Pojęcie granicy odwrotnej, w nieco innej niż podana niżej wersji, pochodzi od Pawła Aleksandrowa. Ogólna definicja pochodzi od Solomona Lefschetza.

Definicja

Rodzinę $S=\{X_{\sigma },{\pi }_{\varrho }^{\sigma },\mathrm{\Sigma }\}$ nazywamy systemem odwrotnym, gdy

• $\mathrm{\Sigma }$ jest zbiorem skierowanym przez relację $⩽,$
• dla każdego $\sigma ,$ $X_{\sigma }$ jest obiektem ustalonej kategorii $𝒞,$
• dla wszystkich $\sigma ,\varrho \in \mathrm{\Sigma }$ o tej własności, że $\sigma ⩽\varrho$ ${\pi }_{\varrho }^{\sigma }$ jest morfizmem $X_{\sigma }\to X_{\varrho }$ w kategorii $𝒞,$
• dla wszystkich $\sigma ,\varrho ,\tau \in \mathrm{\Sigma },$ jeżeli $\tau ⩽\varrho ⩽\sigma ,$ to ${\pi }_{\tau }^{\varrho }{\pi }_{\varrho }^{\sigma }={\pi }_{\tau }^{\sigma }$
• dla każdego $\sigma \in \mathrm{\Sigma },$ ${\pi }_{\sigma }^{\sigma }={\text{id}}_{X_{\sigma }}.$

System odwrotny $S=\{X_{\sigma },{\pi }_{\varrho }^{\sigma },\mathrm{\Sigma }\},$ w którym $\mathrm{\Sigma }$ jest zbiorem liczb naturalnych ze zwykłym porządkiem, nazywamy ciągiem odwrotnym (pomijamy wówczas w zapisie zbiór $\mathrm{\Sigma }$ pisząc po prostu $S=\{X_{\sigma },{\pi }_{\varrho }^{\sigma }\}$). Przekształcenia ${\pi }_{\varrho }^{\sigma }$ nazywa się przekształceniami skaczącymi systemu odwrotnego $S.$ Element

$(x_{\sigma }{)}_{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}\in \prod _{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}{X}_{\sigma }$

nazywa się nicią w systemie odwrotnym $S,$ jeżeli

${\pi }_{\varrho }^{\sigma }(x_{\sigma })=x_{\varrho }$

dla wszystkich $\sigma ,\varrho$ o tej własności, że $\varrho ⩽\sigma .$

Granicą odwrotną systemu odwrotnego $S$ nazywa się zbiór wszystkich jego nici (jest to podzbiór iloczynu kartezjańskiego wszystkich zbiorów $X_{\sigma }$) i oznacza przez

$\underset{⟵}{\lim }\{X_{\sigma },{\pi }_{\varrho }^{\sigma },\mathrm{\Sigma }\}.$

Granice systemów odwrotnych przestrzeni topologicznych

Granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni topologicznych jest przestrzenią topologiczną z topologią dziedziczoną z produktu przestrzeni $X_{\sigma }$ (przestrzenie topologiczne są obiektami kategorii Top, w której morfizmami są odwzorowania ciągłe). Ponadto:

• granica systemu odwrotnego przestrzeni Hausdorffa jest podzbiorem domkniętym produktu tych przestrzeni, a więc na mocy twierdzenia Tichonowa, granica systemu zwartych przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią zwartą Hausdorffa.
• granica systemu odwrotnego przestrzeni typu T_i jest przestrzenią typu $T_i$ dla $i⩽3\frac{1}{2}.$
• granica systemu odwrotnego przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta.
• granica systemu odwrotnego przestrzeni zerowymiarowych Lindelöfa nie musi być przestrzenią zerowymiarową.
• bazą granicy odwrotnej systemu $\{X_{\sigma },{\pi }_{\varrho }^{\sigma },\mathrm{\Sigma }\}$ jest rodzina zbiorów postaci ${\pi }_{\sigma }^{-1}(U_{\sigma }),$ gdzie $\sigma$ przebiega dowolny współkońcowy podzbiór zbioru $\mathrm{\Sigma },$ a $U_{\sigma }$ jest otwartym podzbiorem przestrzeni $X_{\sigma }.$
• każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest granicą systemu odwrotnego zwartych przestrzeni metrycznych, przy czym wspomniane przestrzenie metryczne zwarte mogą być wybrane spośród zwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych.
• każde continuum jednowymiarowe jest granicą systemu odwrotnego grafów.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę