Kategoria przestrzeni topologicznych

Szablon:Spis treści Kategoria przestrzeni topologicznych – kategoria, często oznaczana $𝐓 𝐨 𝐩,$ której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe. Jest to dobrze określona kategoria, ponieważ złożenie dwóch funkcji ciągłych jest ciągłe. Badanie $𝐓 𝐨 𝐩$ oraz własności przestrzeni topologicznych za pomocą technik teorii kategorii znane jest jako topologia kategoryjna.

Uwaga: niektórzy autorzy symbolem $𝐓 𝐨 𝐩$ oznaczają kategorię z rozmaitościami topologicznymi jako obiektami i przekształceniami ciągłymi jako morfizmami.

Kategoria konkretna

Kategoria $𝐓 𝐨 𝐩$ jest kategorią konkretną (która znana jest również jako konstrukt), co oznacza, że jej obiektami są zbiory z dodatkową strukturą (tzn. topologiami), a morfizmami są funkcje zachowujące tę strukturę. Istnieje naturalny funktor zapominania

U : 𝐓 𝐨 𝐩 \to 𝐒 𝐞 𝐭

w kategorię zbiorów, która przypisuje każdej przestrzeni topologicznej zbiór, na którym została określona, a każdemu przekształceniu ciągłemu funkcję, która je definiuje.

Funktor zapominania $U$ ma tak sprzężenie lewostronne

D : 𝐒 𝐞 𝐭 \to 𝐓 𝐨 𝐩,

które wyposaża dany zbiór w topologię dyskretną, jak i sprzężenie prawostronne

I : 𝐒 𝐞 𝐭 \to 𝐓 𝐨 𝐩,

które wyposaża dany zbiór w topologię antydyskretną. Oba te funktory są w rzeczywistości prawostronnymi odwrotnościami $U,$ co oznacza, że $U D$ oraz $U I$ są równe funktorowi tożsamościowemu na $𝐒 𝐞 𝐭 .$ Więcej, ponieważ dowolna funkcja między przestrzeniami dyskretnymi, czy antydyskretnymi jest ciągła, to oba te funktory dają pełne zanurzenia $𝐒 𝐞 𝐭$ w $𝐓 𝐨 𝐩 .$

Konstrukt $𝐓 𝐨 𝐩$ jest także zupełnym ze względu na włókna, tzn. kategoria wszystkich topologii na danym zbiorze $X,$ nazywana włóknem $U$ nad $X,$ tworzy kratę zupełną ze względu na zawieranie. Elementem największym tego włókna jest topologia dyskretna na $X,$ zaś elementem najmniejszym jest topologia antydyskretna.

Konstrukt $𝐓 𝐨 𝐩$ jest modelem tzw. kategorii topologicznej. Kategorie te charakteryzują się tym, że każda dziedzina ustrukturyzowana (ang. structured source) $(X \to U A_{i})_{I}$ ma jednoznacznie wyznaczone podniesienie początkowe (ang. initial lift) $(A \to A_{i})_{I} .$ Podniesienie początkowe w $𝐓 𝐨 𝐩$ uzyskuje się przez przyjęcie topologii początkowej w dziedzinie. Kategorie topologiczne mają wiele dobrych własności wspólnych z $𝐓 𝐨 𝐩$ (takich jak zupełność ze względu na włókna, funktory dyskretny i antydyskretny, jednoznaczność podniesienia granic).

Granice i kogranice

Kategoria $𝐓 𝐨 𝐩$ jest zarazem zupełna i kozupełna, co oznacza, że w $𝐓 𝐨 𝐩$ istnieją wszystkie małe granice i kogranice. Istotnie, funktor zapominania $U : 𝐓 𝐨 𝐩 \to 𝐒 𝐞 𝐭$ jednoznacznie podnosi tak granice, jak i kogranice, a przy tym je zachowuje. Stąd (ko)granice w $𝐓 𝐨 𝐩$ dane są poprzez przyjęcie topologii w odpowiednich (ko)granicach w $𝐒 𝐞 𝐭 .$

Dokładniej, jeśli $F$ jest diagramem w $𝐓 𝐨 𝐩,$ zaś $(L, φ)$ jest granicą $U F$ w $𝐒 𝐞 𝐭,$ to odpowiadającą jej granicę $F$ w $𝐓 𝐨 𝐩$ uzyskuje się przyjmując topologię początkową na $(L, φ) .$ Dualnie, kogranice w $𝐓 𝐨 𝐩$ uzyskuje się poprzez przyjęcie topologii końcowej w odpowiednich kogranicach w $𝐒 𝐞 𝐭 .$

W przeciwieństwie do wielu kategorii algebraicznych funktor zapominania $U : 𝐓 𝐨 𝐩 \to 𝐒 𝐞 𝐭$ nie tworzy, a nie zachowuje granic, ponieważ zwykle znajdą się nieuniwersalne stożki w $𝐓 𝐨 𝐩,$ które pokrywać będą stożki uniwersalne w $𝐒 𝐞 𝐭 .$

Wśród przykładów granic i kogranic w $𝐓 𝐨 𝐩$ można wymienić:

Zbiór pusty (rozumiany jako przestrzeń topologiczna) jest obiektem początkowym $𝐓 𝐨 𝐩;$ dowolna jednoelementowa przestrzeń topologiczna jest obiektem końcowym. Brak zatem w $𝐓 𝐨 𝐩$ obiektów zerowych.
Produkt w $𝐓 𝐨 𝐩$ dany jest jako topologia produktowa na produkcie kartezjańskim. Koprodukt dany jest jako suma rozłączna przestrzeni topologicznych.
Ekwalizator pary morfizmów dany jest poprzez przyjęcie topologii przestrzeni w ekwalizatorze teoriomnogościowym. Dualnie koekwalizator dany jest poprzez przyjęcie topologii ilorazowej w koekwilizatorze teoriomnogościowym.
Granice proste i granice odwrotne są granicami teoriomnogościowymi z odpowiednio topologią końcową i topologią początkową.
Przestrzenie sklejone są przykładami koproduktów włóknistych (pushoutów) w $𝐓 𝐨 𝐩 .$

Inne własności

Monomorfizmy i epimorfizmy w $𝐓 𝐨 𝐩$ są odpowiednio iniektywnymi i surjektywnymi przekształceniami ciągłymi, zaś izomorfizmami są homeomorfizmy.
Monomorfizmy ekstremalne są (co do izomorfizmu) zanurzeniami podprzestrzeni. Każdy monomorfizm ekstremalny jest regularny.
Epimorfizmy ekstremalne są (w swej istocie) przekształceniami ilorazowymi. Każdy epimorfizm ekstremalny jest regularny.
Brak w $𝐓 𝐨 𝐩$ morfizmów zerowych, w szczególności kategoria ta nie jest preaddytywna.
Kategoria $𝐓 𝐨 𝐩$ nie jest domknięta kartezjańsko (nie jest więc także toposem), ponieważ nie wszystkie przestrzenie mają obiekty wykładnicze.

Związki z innymi kategoriami

Kategoria przestrzeni z wyróżnionym punktem $𝐓 𝐨 𝐩_{∙}$ jest kopłatem kategorii (ang. coslice category) pod $𝐓 𝐨 𝐩 .$
Kategoria homotopii przestrzeni topologicznych $𝐡 𝐓 𝐨 𝐩$ ma za obiekty przestrzenie topologiczne, morfizmami w niej są z kolei klasy równoważności homotopii przekształceń ciągłych. Jest to kategoria ilorazowa $𝐓 𝐨 𝐩 .$ Można podobnie zdefiniować kategorię homotopii z wyróżnionym punktem $𝐡 𝐓 𝐨 𝐩_{∙} .$
Kategoria $𝐓 𝐨 𝐩$ zawiera ważną kategorię $𝐇 𝐚 𝐮 𝐬$ przestrzeni topologicznych mających własność Hausdorffa jako pełną podkategorię. Należy zauważyć, że struktura dodana tej podkategorii generuje więcej epimorfizmów: w istocie są to dokładnie te morfizmy, które mają gęste obrazy w przeciwdziedzinach; epimorfizmy nie muszą być zatem surjektywne.

Bibliografia

Herrlich, Horst: Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
Herrlich, Horst: Categorical topology 1971 - 1981. W: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, ss. 279 - 383.
Herrlich, Horst i Strecker, George E.: Categorical Topology - its origins, as examplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971. W: Handbook of the History of General Topology (red. C. E. Aull i R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. tom 1 (1997) ss. 255 - 341.
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst i Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Pierwotnie wydane przez John Wiley & Sons. Szablon:ISBN. (teraz darmowe wydanie on-line).