Kategoria przecinkowa

Kategoria przecinkowa – pojęcie używane w matematyce, w teorii kategorii.

Konstrukcja

Niech $𝒜,$ $ℬ$ oraz $𝒞$ będą kategoriami, a $F:𝒜\to 𝒞,$ $G:ℬ\to 𝒞$ funktorami, tj.

$𝒜\stackrel{F}{\to }𝒞\stackrel{G}{\leftarrow }ℬ.$

Wówczas kategorią przecinkową nazywamy kategorię $(F\downarrow G),$ w której:

• obiektami są trójki uporządkowane $(A,f,B),$ gdzie $A\in Ob(𝒜),$ $B\in Ob(ℬ)$ oraz $Mor(𝒞)\ni f:F(A)\to G(B);$
• morfizmami $(A,f,B)\to (A^{\text{'}},f^{\text{'}},B^{\text{'}})$ są takie pary $(a,b),$ gdzie $a:A\to A^{\text{'}}\in Mor(𝒜),$ $b:B\to B^{\text{'}}\in Mor(ℬ),$ że poniższy diagram

jest przemienny. Przy czym morfizmami tożsamościowymi są ${\text{id}}_{(A,f,B)}=({\text{id}}_A,{\text{id}}_B),$ a złożeniem morfizmów $(a^{\text{'}},b^{\text{'}})\circ (a,b)$ jest $(a^{\text{'}}\circ a,b^{\text{'}}\circ b)$ (o ile złożenia $a^{\text{'}}\circ a,b^{\text{'}}\circ b$ mają sens).

Szczególne przypadki

Płat kategorii

Jeżeli $𝒞=𝒜$ oraz $ℬ=*,$ tj. kategoria $ℬ$ ma tylko jeden obiekt (oznaczany również $*$) oraz jeden morfizm (tj. morfizm tożsamościowy), to $G(*)=C$ dla pewnego $C\in Ob(𝒞).$ W takim przypadku kategorię przecinkową nazywamy płatem kategorii $𝒞$ nad obiektem $C$ i oznaczamy $𝒞/C.$

Kopłat kategorii

Jeżeli zaś $𝒞=ℬ$ oraz $𝒜=*,$ to otrzymujemy kategorię nazywaną kopłatem kategorii $𝒞$ pod obiektem $C$ oznaczaną $C/𝒞.$

Kategoria strzałkowa

Gdy $𝒜=ℬ=𝒞$ oraz $F=G={\text{id}}_{𝒞},$ to taką kategorię przecinkową nazywamy kategorią strzałkową i oznaczamy ${𝒞}^{\to }$.

Linki zewnętrzne

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii. Skrypt dla studentów Wydziału MIM UW.