Kostka Tichonowa

Szablon:Spis treści Kostka Tichonowa – konstrukcja mnogościowa w topologii, będąca przykładem przestrzeni uniwersalnej dla przestrzeni Tichonowa i przestrzeni zwartych.

Definicja

Kostką Tichonowa $I^{\kappa }$ ciężaru $\kappa ,$ gdzie $\kappa$ jest nieskończoną liczbą kardynalną, nazywa się przestrzeń produktową

$\prod _{s\in S}{I}_s,$

gdzie $I_s=[0,1]$ dla każdego elementu $s$ zbioru $S$ ($S$ jest zbiorem mocy $\kappa$).

Kostka $I^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ z metryką

$\varrho (x,y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|x_n-y_n|}{2^n},(x=(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},y=(y_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\in [0,1{]}^{{\mathrm{\aleph }}_0})$

nazywana jest kostką Hilberta. Metryka $\varrho$ wyznacza topologię w zbiorze $I^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ identyczną z topologią Tichonowa (tj. wyjściową topologią kostki Tichonowa ciężaru ${\mathrm{\aleph }}_0$).

Własności

• Kostka Tichonowa ciężaru $\kappa$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni Tichonowa o nieskończonym ciężarze $\kappa .$
• Kostka Tichonowa ciężaru $\kappa$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zwartych o nieskończonym ciężarze $\kappa .$
• Z twierdzenia Tichonowa wynika, że każda kostka Tichonowa jest zwarta.
• Topologia wyznaczona przez metrykę w kostce Hilberta pokrywa się z jej topologią Tichonowa.
• Inne twierdzenie Tichonowa stwierdza, że każda przestrzeń Tichonowa jest homeomorficzna z podprzestrzenią kostki Tichonowa o ciężarze równym ciężarowi tej przestrzeni.
• Kostka Tichonowa (nieskończonego) ciężaru $\kappa$ jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy $\kappa ={\mathrm{\aleph }}_0.$

Zobacz też

• kostka Aleksandrowa
• kostka Cantora

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę