Punkt przegięcia

Przykładowy wykres funkcji zawierającej punkt przegięcia (w); styczna w tym punkcie została zaznaczona na czerwono.

Punkt przegięcia – niejednoznaczne pojęcie matematyczne, konkretniej analizy rzeczywistej i planimetrii, w obu dyscyplinach definiowane na różne i nierównoważne sposoby:

• dla funkcji rzeczywistej o zmiennej rzeczywistej jest to pewien punkt w jej dziedzinie lub na wykresie. Zachodzi w nim zmiana wypukłości, tj. po jednej stronie przegięcia funkcja jest wypukła, a po drugiej – wklęsłaSzablon:Odn. Ta definicja jest niejednoznaczna przez różne użycie nazw „wypukłość” i „wklęsłość”; oprócz tego bywa zawężana dodatkowymi warunkami na zachowanie funkcji w tym miejscu. Przy niektórych z tych zawężeń – oraz innych definicjach, nieodwołujących się do wypukłości – punkt przegięcia wykresu staje się szczególnym przypadkiem sensu geometrycznego:
• dla ogólnych krzywych płaskich punkt przegięcia to taki, w którym istnieje styczna i „przechodzi” ona z jednej strony krzywej na drugą. W sensie ścisłym i węższymSzablon:Odn: w pewnym sąsiedztwie przegięcia krzywa zawiera się we wnętrzu kątów wierzchołkowych utworzonych przez styczną i normalną. Można to też formalizować przez zmianę znaku krzywizny, choć wymaga to innych założeń o własnościach krzywejSzablon:Fakt.

Oprócz tego znaczenia z pierwszej grupy mają swoje warunki wystarczające jak:

• ekstremum pierwszej pochodnej we wnętrzu dziedzinySzablon:Odn,
• zmiana znaku drugiej pochodnejSzablon:Odn,
• zmiana znaku pewnych wyrażeń z pierwszą lub drugą pochodną w przegięciu,
• zerowanie się pochodnych kolejnych rzędów między pierwszym a pewnym rzędem nieparzystym, dla którego wartość pochodnej jest niezerowaSzablon:Odn:

$\mathrm{\exists }{\mathrm{\backslash limits}}_{k\in {\mathbb{N}}_{+}}(f^{(2k+1)}(x_0)\ne 0\wedge \mathrm{\forall }{\mathrm{\backslash limits}}_{n\in \mathbb{N}}1<n<2k+1\Rightarrow f^{(n)}(x_0)=0).$

Kryteria te istnieją dzięki twierdzeniom o różniczkowalnych funkcjach wypukłych i wklęsłych. Przy pewnym zawężeniu pojęć te warunki wystarczające stają się równoważnymi; bywają wręcz używane jako definicje.

Pojęcie to wprowadził do matematyki prawdopodobnie Gilles de Roberval; posłużył się nim w 1636 roku, w liście do Pierre’a Fermata. O przegięciach pod innymi nazwami wspominali potem między innymi Gottfried Wilhelm Leibniz i Isaac Newton.

Przegięcia funkcji rzeczywistych

Wykres funkcji trzeciego stopnia $y=x^3$ (sześcianu), czasem nazywany parabolą sześcienną. Punktem przegięcia jest tu początek układu współrzędnych (0,0), z obu perspektyw: 1) dla argumentów ujemnych $(x<0)$ funkcja jest ściśle wklęsła, a dla dodatnich $(x>0)$ – ściśle wypukła; 2) styczną jest tu oś pozioma (Ox), normalną – oś pionowa (Oy), a cały wykres znajduje się w przeciwległych ćwiartkach układu (pierwszej i trzeciej).

Tangensoida – wykres funkcji tangens $y=\mathrm{tg}x.$ Jej miejsca zerowe to wielokrotności 90° lub pi $(\pi )$ radianów: $x=k\pi .$ Punkty te są zarazem przegięciami; prostych stycznych ani normalnych tu nie przedstawiono.

Wykres pierwiastka sześciennego $y=\sqrt[3]{x}.$ To przykład funkcji, która ma punkt przegięcia $(x_0=0),$ ale druga pochodna $(y^{″})$ się w nim nie zeruje i w dodatku nie istnieje. W tym miejscu nie ma nawet właściwej pierwszej pochodnej; dąży tam ona do nieskończoności: $y^{\prime }\to +\mathrm{\infty }$ przy $x\to 0.$

Wykres funkcji wymiernej $y=1/x$ – przykład hiperboli. Początek układu współrzędnych (0,0) rozdziela tu przedział ścisłej wklęsłości $(x<0)$ od przedziału ścisłej wypukłości $(x>0).$ Mimo to punkt $x=0$ zwykle nie jest uznawany za przegięcie – jako liczba spoza dziedziny tej funkcji.

Szeroka definicja przez wypukłość

Niech $f$ będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych: $f:X\to Y,$ gdzie $X,Y\subseteq ℝ.$ Wtedy mówi się, że $f$ ma punkt przegięcia w $x=x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy w pewnym otoczeniu punktu $x_0$ jest po jednej z jego stron ściśle wypukła, a po drugiej – ściśle wklęsła. Formalnie oznacza to, że istnieje liczba $r\in {ℝ}_{+},$ dla której funkcja $f:$

a) jest ściśle wklęsła na przedziale $(x_0-r,x_0)$ i ściśle wypukła na przedziale $(x_0,x_0+r);$

b) odwrotnie – jest ona ściśle wypukła na $(x_0-r,x_0)$ i ściśle wklęsła na $(x_0,x_0+r).$

Wypukłość i wklęsłość są definiowane różnie – i nierównoważnie – przez różnych autorów. W ogólności funkcja $f:$

• jest ściśle wklęsła na przedziale $[u,v]\subseteq X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na przedziale $(u,v)$ i:

$\mathrm{\forall }u⩽a<b<c⩽v:\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>\frac{f(c)-f(b)}{c-b}$

lub (równoważna definicjaSzablon:Fakt):

$\mathrm{\forall }u⩽a<b⩽v:f\left(\frac{a+b}{2}\right)>\frac{f(a)+f(b)}{2}.$

• Podobnie funkcja jest ściśle wypukła na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na tym przedziale i:

$\mathrm{\forall }u⩽a<b<c⩽v:\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<\frac{f(c)-f(b)}{c-b}$

lub (równoważna definicja):

$\mathrm{\forall }u⩽a<b⩽v:f\left(\frac{a+b}{2}\right)<\frac{f(a)+f(b)}{2}.$

Inne definicje

Wśród funkcji nieróżniczkowalnych istnieją takie, które w punkcie nieróżniczkowalności mają styczną pionową (tu $x=0).$ Takie funkcje mogą ją przecinać, nie zmieniając przy tym wypukłości – przez co punkty te nie są zaliczane do przegięćSzablon:Odn. Wykresy takich funkcji nie spełniają też ścisłej geometrycznej definicji przegięcia, opartej na kątach wierzchołkowych między styczną a normalną.

Niektórzy matematycy definiują punkty przegięcia funkcji przez wypukłość i wklęsłość w sąsiedztwie, ale określone inaczej – za pomocą stycznychSzablon:OdnSzablon:Odn. Wymaga to wzmocnienia założenia ciągłości o różniczkowalność. Zdarza się też dodatkowy wymóg, by w tym sąsiedztwie przegięcia istniała także druga pochodna i to ciągła; takie funkcje bywają nazywane klasą ${𝒞}^2$.

Nierzadko zakłada się też dodatkowe własności funkcji $f$ w samym punkcie $x_0$ jak:

• określoność w tym punkcie (przyjmowanie w nim jakiejś wartości: $x_0\in X$);
• ciągłość: $f\in 𝒞;$
• istnienie w nim pochodnych jednostronnych $(f{\text{'}}_{\pm })$ spełniających pewne nierówności;
• istnienie w nim stycznej, czyli spełnianie jednego z dwóch warunkówSzablon:Odn:
  • istnienie pochodnej właściwej lub niewłaściwej (tj. nieskończonej): $f^{\prime }(x_0)\in \overline{ℝ};$
  • istnienie jednostronnych pochodnych niewłaściwych: $f{\text{'}}_{+}(x_0),f{\text{'}}_{-}(x_0)\in \{\pm \mathrm{\infty }\};$
• różniczkowalność – istnienie pochodnej właściwej (tj. skończonej): $f^{\prime }(x_0)\in ℝ;$
• istnienie drugiej pochodnej (podwójna różniczkowalność) i jej ciągłośćSzablon:Odn: $f\in {𝒞}^2.$

Czasem przegięcie funkcji jest definiowane bez wypukłości ani wklęsłości. Niektórzy odwołują się do własności związanych ze styczną w tym punkcie $(x_0):$

• nieformalnie przegięcie to punkt przecinania stycznejSzablon:Odn. To znaczenie obejmuje też funkcje bez zmiany wypukłości, w dodatku z wykresem po jednej stronie prostej normalnej – wbrew ogólnej definicji przegięcia krzywej płaskiej. Tak się może dziać w wypadku stycznych pionowychSzablon:Odn.
• Wykluczenie stycznych pionowych oznacza, że w przegięciu istnieje pochodna skończona $(f^{\prime }(x_0)\in ℝ).$ Wtedy przebijanie stycznej to formalnie zmiana znaku funkcji $f-s,$ gdzie $s(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ to funkcja opisująca styczną w punkcie $x_0$. Ta definicja również bywa zawężana. Wszystkie takie przegięcia są zgodne z definicją geometryczną (dla ogólnej krzywej płaskiej); mimo to mogą one nie zmieniać wypukłości funkcji, co opisano dalej.

Zdarza się jeszcze inna definicja – pozwalająca rozstrzygnąć, czy punkt jest przegięciem, za pomocą samych pochodnych w tym punkcie. Wymaga to co najmniej trzykrotnej różniczkowalności (istnienia $f^{‴}(x_0)$).

Przykłady nierównoważności

Powyższe definicje nie są sobie równoważne – istnieją funkcje z punktami spełniającymi tylko niektóre z nich. Są przypadki zmiany wypukłości, w którychSzablon:Fakt:

• druga pochodna jest nieciągła;
• nie ma drugiej pochodnej – por. funkcja $u(x):=x|x|.$ W punkcie $x=0$ istnieje przegięcie, bo pierwsza pochodna $u^{\prime }(x)=2|x|$ ma tam swoje minimum. Mimo to drugie pochodne jednostronne są tam różne $(u^{\prime }{\text{'}}_{-}\ne u^{\prime }{\text{'}}_{+}),$ więc obustronna druga pochodna nie istnieje;
• nie ma pierwszej pochodnej właściwej (skończonej) – por. pierwiastek kubiczny (sześcienny);
• nie ma nawet niewłaściwej pierwszej pochodnej;
• nie ma stycznejSzablon:Odn;
• nie ma ciągłości;
• nie ma wartości w tym punkcie; por. $v(x):=1/x.$

Istnieją też funkcje z punktami spełniającymi „geometryczną” definicję przegięcia (przez styczną), ale bez zmiany wypukłości w tym punkcie:

$g(x):=\{\begin{array}{cc}-x^2(2+\sin \frac{1}{x})& \text{dla }x<0,\\ 0& \text{dla }x=0,\\ x^2(2+\sin \frac{1}{x})& \text{dla }x>0.\end{array}$

Ta funkcja jest różniczkowalna w zerze $(g^{\prime }(0)=0),$ ale jej pochodna jest tam nieciągła i nawet nie ma granic jednostronnychSzablon:Odn. Warunek ciągłości pochodnej $(f\in {𝒞}^1)$ nie usuwa jednak takich przypadków. Nie robi tego nawet postulat dwukrotnej różniczkowalności z ciągłą drugą pochodną $(f\in {𝒞}^2).$ Istnieją funkcje tej klasy, które również przecinają swoją styczną bez zmiany wypukłości w tym punkcieSzablon:Odn:

$k(x):=\{\begin{array}{cc}{x}^5(1+{\sin }^2\frac{1}{x})& \text{dla }x\ne 0,\\ 0& \text{dla }x=0.\end{array}$

Warunki konieczne i wystarczające

Wykres czwartej potęgi: $y=x^4.$ To przykład funkcji, która w pewnym punkcie $(x=0)$ ma zerową drugą pochodną, ale nie ma tam przegięciaSzablon:Odn. Druga pochodna $(y^{″}=12x^2)$ nie zmienia tam znaku – po obu stronach jest dodatnia – a pierwsza pochodna $(y^{\prime }=4x^3)$ nie ma tam ekstremum. Czwarta potęga jest ściśle wypukła w całej dziedzinie, a w zerze ma minimum.

Wykres wielomianu czwartego stopnia: $y=x^4-x.$ To przykład funkcji, której druga pochodna $(y^{″}=12x^2)$ zeruje się w punkcie niebędącym ani przegięciem, ani ekstremumSzablon:Fakt.

W przegięciach druga pochodna w ogólności nie musi istnieć, ale może przyjmować tylko zerową wartość $(f^{″}(x_0)=0)$. Ten warunek konieczny nie jest jednak warunkiem wystarczającym:

• jeśli obie pochodne (pierwsza i druga) się zerują, to punkt może nie być przegięciem, lecz ekstremum – por. $y=x^4;$
• jeśli druga pochodna się zeruje, a pierwsza nie, to punkt nie jest ekstremum, ale nie musi też być przegięciem; por. jedna z dalszych ilustracji.

Dla różnych klas funkcji można wskazać różne warunki wystarczające przegięcia:

• Jeśli funkcja ma obustronną pochodną w pewnym otoczeniu punktu $x_0,$ wówczas warunkiem wystarczającym jest właściwe ekstremum lokalne pierwszej pochodnej w punkcie $x_0.$ Ten warunek nie jest w ogólności konieczny – w sąsiedztwie przegięcia pochodna może w ogóle nie istniećSzablon:Odn. Mimo to, tak jak napisano wyżej, czasem zakłada się różniczkowalność badanej funkcji w całym przedziale – wprost lub przez definiowanie wypukłości za pomocą stycznych.
• Warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia jest też istnienie drugiej pochodnej funkcji równej zeru w punkcie $x_0$ oraz zmiana jej znaku w tym punkcie.
• Dla funkcji trzykrotnie różniczkowalnej warunkiem wystarczającym jest: $f^{″}(x_0)=0\wedge f^{‴}(x_0)\ne 0.$ W ogólności: jeśli w jakimś punkcie pierwsza nieznikająca (różna od zera) pochodna jest rzędu nieparzystego większego niż dwa, to jest tam przegięcieSzablon:Odn.

Rola przegięć

Poszukiwanie przegięć to jeden z klasycznych elementów badania przebiegu zmienności funkcji rzeczywistych $(f:X\to ℝ,X\subseteq ℝ).$ Punkty te mogą się pojawić w analizie pochodnych, począwszy od pierwszej – mogą się znaleźć wśród punktów krytycznych badanej funkcji $(f).$ Przegięcia – tak jak lokalne ekstrema – mogą występować zarówno wśród:

• punktów nieróżniczkowalności (braku pochodnej); przy czym taki punkt może być jednocześnie i ekstremum, i przegięciemSzablon:Odn;
• punktów stacjonarnych, czyli miejsc zerowych pierwszej pochodnej $(f^{\prime }(x_s)=0).$ Takie punkty stacjonarne bez ekstremum w przypadku jednowymiarowym mogą należeć do przegięć. Bywają nazywane punktami siodłowymi, przy czym te ostatnie są też definiowane inaczej – geometrycznie, jako punkty zerowej krzywizny. Wtedy punkty siodłowe nie są szczególnym przypadkiem różniczkowalnych przegięć, lecz ich uogólnieniem na wiele wymiarów.

W ogólności przegięcie wykresu nie ma ścisłego związku z pierwszą pochodną. Jeśli w takich punktach ona istnieje, to może mieć dowolny znak i być nieskończona (niewłaściwa), co ilustrują wykresy obok. Przegięcia są bliżej związane z dalszymi pochodnymi – przez różne warunki konieczne lub wystarczające, opisane wyżej.

Przegięcia wielomianów

Wielomian n-tego stopnia $(n⩾2)$ ma co najwyżej $n-2$ punktów przegięciaSzablon:Fakt. Wynika to z połączenia trzech faktów:

• podwójna różniczkowalność wielomianów, dająca też ciągłą drugą pochodną (klasa ${𝒞}^2$); przegięcia takich funkcji muszą spełniać warunek konieczny, jakim jest zerowanie się drugiej pochodnej $(f^{″}(x_0)=0);$
• wzór na pochodną wielomianu – dla $n⩾1$ pochodna zmniejsza stopień wielomianu o jeden. Przez to druga pochodna ma stopień niższy o dwa $(\mathrm{deg}{f}^{″}=\mathrm{deg}f-2);$
• zasadnicze twierdzenie algebry mówi między innymi, że liczba pierwiastków rzeczywistych wielomianu rzeczywistego nie przekracza jego stopnia; tutaj liczba pierwiastków drugiej pochodnej nie przekracza $n-2.$

W szczególności funkcje kwadratowe – dla których $n=2$ – nie mają przegięć. Dotyczy to także wielomianów stopnia niższego niż dwa, czasem zwanych funkcjami liniowymiSzablon:Fakt.

Uogólnienie na inne krzywe płaskie

Pojęcie punktu przegięcia może też zostać uogólnione na krzywe płaskie niebędące wykresami funkcji, zwłaszcza na krzywe z punktami regularnymi, tj. o unikalnej stycznej. Tak jak wspomniano, tutaj również występują różne konwencje:

• nieformalnie – w punkcie przegięcia krzywa przechodzi z jednej strony stycznej na drugą;

• w sensie ścisłym i węższymSzablon:Odn: w pewnym sąsiedztwie przegięcia krzywa zawiera się we wnętrzu kątów wierzchołkowych utworzonych przez styczną i normalną;

• inna ścisła definicja mówi o rozdzielaniu punktów o krzywiźnie dodatniej i ujemnej, co wymaga zerowania się krzywizny w tym punkcieSzablon:Odn. Tak rozumiane przegięcie jest szczególnym, jednowymiarowym przypadkiem punktu siodłowego lub – przy innych definicjach – jego odpowiednikiem.

W miarę zbliżania się do punktu przegięcia promień krzywizny wykresu funkcji dwukrotnie różniczkowalnej rośnie do nieskończoności. Mówi się skrótowo, że jest on w punkcie przegięcia nieskończony. Oznacza to, że w otoczeniu punktu przegięcia krzywa (w szczególności np. wykres funkcji) jest lepiej przybliżana linią prostą niż łukiem okręguSzablon:Fakt.

Zobacz też

• funkcja monotoniczna

Bibliografia

Książki publikowane drukiem

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Dokumenty cyfrowe

• Szablon:Cytuj

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Mariusz Śliwiński, Wklęsłość i wypukłość krzywej, math.edu.pl [dostęp 2022-07-02].
• Szablon:Pismo Delta