Wzory Viète’a

François Viète - twórca wzorów Viète’a

Wzory Viète’a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a, który podał je w 1591 roku.

Wzory Viète’a

Niech $x_1,x_2,\dots ,x_n$ będą pierwiastkami wielomianu $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0,a_n\ne 0$ o współczynnikach zespolonych (w szczególności także rzeczywistych). Wówczas prawdziwe są wzory

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+\dots +x_{n-1}+x_n=\frac{-a_{n-1}}{a_n}\\ x_1{x}_2+\dots +x_1{x}_n+x_2{x}_3+\dots +x_2{x}_n+\dots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ ⋮\\ x_1{x}_2\dots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}\end{array}$

nazywane wzorami Viète’a.

Powyższe wzory są prawdziwe również dla wielomianów w dowolnym pierścieniu przemiennym, przy założeniu, że wielomian ten ma w nim $n$ pierwiastków.

Przykłady

Wielomian liniowy

W przypadku wielomianu liniowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych) $ax+b,a\ne 0$ wzory sprowadzają się do postaci:

$x_1=-\frac{b}{a}.$

Trójmian kwadratowy

W przypadku trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych) $a{x}^2+bx+c,a\ne 0$ wzory te przyjmują postać:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}.$

Wzory te są prawdziwe również, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego $\mathrm{\Delta }<0,$ wówczas oczywiście oba pierwiastki $x_1,x_2$ są zespolone nierzeczywiste.

Wielomian stopnia trzeciego

Dla wielomianów stopnia trzeciego, postaci $a{x}^3+b{x}^2+cx+d,a\ne 0,$ o pierwiastkach $x_1,x_2,x_3$ wzory te mają postać:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}\\ x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}\end{array}$

Dowód

Przypadek funkcji kwadratowej

Niech $x_1,x_2$ będą miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $a{x}^2+bx+c.$ Wówczas

$a(x-x_1)(x-x_2)=a{x}^2+bx+c$

$a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2)=a{x}^2+bx+c$

$-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2=bx+c$

Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy odpowiednich potęgach mają równe współczynniki, mamy:

$\{\begin{array}{c}-a(x_1+x_2)=b\\ a{x}_1{x}_2=c\end{array}$

a stąd wzory wspomniane wyżej.

Przypadek ogólny

Aby udowodnić wzory Viète’a, piszemy równość

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0=a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$

(która jest prawdziwa, gdyż $x_1,x_2,\dots ,x_n$ są wszystkimi pierwiastkami wielomianu), dokonujemy mnożenia po prawej stronie i przyrównujemy współczynniki. Otrzymujemy

$\{\begin{array}{c}{a}_n(x_1+x_2+\dots +x_{n-1}+x_n)=-a_{n-1}\\ a_n(x_1{x}_2+\dots +x_1{x}_n+x_2{x}_3+\dots +x_2{x}_n+\dots +x_{n-1}{x}_n)=a_{n-2}\\ ⋮\\ a_n{x}_1{x}_2\dots x_n=(-1{)}^n{a}_0\end{array}$

czyli

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+\dots +x_{n-1}+x_n=\frac{-a_{n-1}}{a_n}\\ x_1{x}_2+\dots +x_1{x}_n+x_2{x}_3+\dots +x_2{x}_n+\dots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ ⋮\\ x_1{x}_2\dots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}\end{array}$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Wzory Viète’a w zadaniach szkolnych
• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].
• Szablon:Otwarty dostęp Viète theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].