Wyróżnik wielomianu

Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników danego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.

Definicja

Niech $K$ będzie dowolnym ciałem (niekoniecznie liczbowym), zaś $p$ wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z ciała $K,$ co zapisujemy $p\in K[x].$ Symbol $K[x]$ oznacza pierścień wielomianów o współczynnikach z $K.$

Wyróżnik wielomianu stopnia $n⩾1$

$p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\dots +a_{1}x+a_0,$

to element ciała $K$ (więc liczba, gdy ciało jest liczbowe)

$D(p)=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_n^{n-k-2}R(p,p^{\prime }),$ gdy $p^{\prime }\ne 0$

i $D(p)=0,$ gdy $p^{\prime }=0,$

gdzie $R(p,p^{\prime })$ to rugownik wielomianu $p$ i jego pochodnej $p^{\prime },$ zaś $k$ jest stopniem pochodnej $p^{\prime }.$

Jeżeli $p^{\prime }=0,$ to wielomian $p$ ma pierwiastki wielokrotne, i stąd postać drugiej części definicji.

Jeżeli stopień $n$ wielomianu $p$ nie jest wielokrotnością charakterystyki $\chi (K)$ ciała (na przykład gdy $\chi (K)=0$), to $k=n-1,$ a wyrażenie $a_n^{n-k-2}R(p,p^{\prime })$ przyjmuje postać $a_n^{-1}R(p,p^{\prime }),$ a jeżeli jest wielokrotnością i $p^{\prime }\ne 0,$ to $k<n-1.$

W pierwszym przypadku rugownik $R(p,p^{\prime })$ jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia $2n-1:$

$\left[\begin{array}{ccccccccc}{a}_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_1& a_0& 0\dots & \dots & 0\\ 0& a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_1& a_0& 0\dots & 0\\ ⋮& & & & & & & & ⋮\\ 0& \dots & 0& a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_1& a_0\\ n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& (n-2)a_{n-2}& \dots & 1a_1& 0& \dots & \dots & 0\\ 0& n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& (n-2)a_{n-2}& \dots & 1a_1& 0& \dots & 0\\ ⋮& & & & & & & & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& 0& n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& \dots & 1a_1\end{array}\right].$

Gdy oznaczymy przez $P\subset K[x]$ zbiór wszystkich wielomianów stopnia większego od 0, to wyróżnik jest funkcją $D:P\to K,$ a jej wartość na określonym wielomianie nazywa się wyróżnikiem tego wielomianu.

Oznaczmy powyższą macierz przez $M_n.$ Ma ona zawsze stopień $2n-1$ (niezależnie od tego czy $k<n-1$) i zachodzi związek $\det M_n=a_n^{n-k-1}R(p,p^{\prime }),$ więc ogólny wzór definiujący wyróżnik może być zapisany w zgrabnej postaci, obejmującej przypadek zerowej pochodnej

$D(p)=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{a_n}\det M_n.$

Ponieważ (przy ustalonym n) do tego wzoru wchodzą jedynie współczynniki wielomianu, to naturalne jest zdefiniowanie bardziej bezpośrednich funkcjiSzablon:Odn ${\mathrm{\Delta }}_n:K^{n+1}\to K$ określonych tym samym wzorem co wyróżnik.

${\mathrm{\Delta }}_n(a_n,\dots ,a_0)=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{1}{a_n}\det M_n$ dla $n⩾1.$

W macierzy $M_n$ najwyższy współczynnik $a_n$ jest mnożnikiem pierwszej kolumny, więc można go wyciągnąć przed wyznacznik i uprościć z mianownikiem, skąd wynika, że funkcja ${\mathrm{\Delta }}_n$ jest wielomianem $n+1$ zmiennych.

Niech $P_n\subset P$ będzie zbiorem wielomianów stopnia $n$ dla $n⩾1,$ zaś ${\lambda }_n:P_n\to K^{n+1}$ funkcją przyporządkowującą wielomianowi $p$ jego współczynniki $(a_n,\dots ,a_0).$ Ponieważ wielomian jednoznacznie wyznacza swoje współczynniki i na odwrót, to ${\lambda }_n$ jest injekcją. Wobec oczywistej równości

$D|P_n={\mathrm{\Delta }}_n\circ {\lambda }_n,$

funkcję ${\mathrm{\Delta }}_n$ również nazywa się wyróżnikiem (wielomianu stopnia n).

Możliwość wyrażenia wyróżnika przez wyznacznik macierzy o zawsze tej samej postaci, jak w ostatnim wzorze na ${\mathrm{\Delta }}_n(a_n,\dots ,a_0),$ oznacza, że ten wielomian ma charakter uniwersalny. Stosuje się w każdym przypadku niezależnie od ciała, charakterystyki ciała, czy stopnia pochodnej $p^{\prime },$ choć w pewnych przypadkach ogólne wyrażenie może się upraszczać.

W „matematyce szkolnej” (i nie tylko) stosuje się skrócony zapis, w którym litera $\mathrm{\Delta }$ bez indeksu oznacza wartość funkcji ${\mathrm{\Delta }}_2$ (lub ${\mathrm{\Delta }}_3$) na współczynnikach wielomianu, co ma uzasadnienie nie przeciążaniem notacji.

Zależność od pierwiastków wielomianu

Wielomian $p$ stopnia $n$ ma dokładnie $n$ pierwiastków z uwzględnieniem ich krotności (być może w ciele szerszym niż $K$).

Ponumerujmy te pierwiastki w dowolny sposób: $x_1,x_2,\dots ,x_n,$ a wtedy $p(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n).$

Kwadrat wyznacznika Vandermonda $V_n^2(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ jest wielomianem symetrycznym swych argumentów, co gwarantuje przede wszystkim, że jego wartość nie zależy od sposobu numeracji. Wartość ta wyraża się wzorem

$V_n^2(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\prod _{1⩽i<j⩽n}(x_i-x_j{)}^2.$

W teorii rugownika dowodzi się, że między rugownikiem wielomianu i jego pochodnej, a kwadratem wyznacznika Vandermonda jego pierwiastków, zachodzi związek

$R(p,p^{\prime })=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_n^{n+k}{V}_n^2(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ dla $n⩾1$ i $k⩾0,$

gdzie $k$ jest stopniem pochodnej $p^{\prime }.$

Po wstawieniu do pierwszej definicji wyróżnika otrzymujemy

$D(p)=a_n^{2n-2}{V}_n^2(x_1,x_2,\dots ,x_n)=a_n^{2n-2}\prod _{1⩽i<j⩽n}(x_i-x_j{)}^2.$

Ta równość jest często traktowana jako definicja wyróżnika.

Gdy $n=1,$ to nie istnieje żadna para wskaźników z $i<j$ (iloczyn po zbiorze pustym), więc $D(p)=a_1^0\cdot 1=1$ w zgodzie z pierwszą definicją. Obie definicje są więc całkowicie równoważne, jednak w nowej wyraźnie widoczna jest podstawowa własność wyróżnika. Ponadto wynika stąd, że jeżeli wielomian $f\in ℝ[x]$ ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, to $D(f)⩾0.$

Obliczanie wyróżnika

Wyróżnik wielomianu stopnia $n$ może być obliczony z definicji jako wyznacznik macierzy Sylvestera stopnia $2n-1.$ Jednak można go także wyrazić jako wyznacznik pewnej macierzy symetrycznej $A_n$ stopnia $n,$ aczkolwiek o bardziej skomplikowanych wyrazach. Dowód opiera się na teorii wielomianów symetrycznych. Niżej podana jest definicja rekursyjna macierzy $A_n.$

Oznaczenia i definicje pomocnicze

Oznaczmy przez $I_n$ macierz jednostkową stopnia $n.$ Definiujemy macierze $J_{n,k}$ stopnia $n$ dla $n⩾1$ i $1⩽k⩽n.$ Gdy oznaczymy współrzędne macierzy $J_{n,k}$ przez $c_{i,j},$ to $c_{n-i,k+i}=1$ dla $i=0,\dots ,n-k,$ zaś pozostałe współrzędne są zerami.

Przykłady $J_{1,1}=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]=I_1,J_{2,1}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],J_{2,2}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right],J_{3,1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right],J_{3,2}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right],J_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ $J_{4,2}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right],J_{4,3}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right].$

Wszystkie macierze $J_{n,k}$ są symetryczne.

W tym podrozdziale wielomiany stopnia $n$ będziemy zapisywali w postaci

$f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_n,$   gdzie $a_0\ne 0.$

Definiujemy macierze $B_n$ zależne od współczynników wielomianu stopnia $n.$

$B_n=a_n\sum _{k=0}^{n-2}(n-k)a_k{J}_{n,k+2}$   dla $n⩾2.$

Przykłady

$B_2=a_2\sum _{k=0}^0(2-k)a_k{J}_{2,k+2}=a_2(2a_0{J}_{2,2})=a_2\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 2a_0\end{array}\right]$

$B_3=a_3\sum _{k=0}^1(3-k)a_k{J}_{3,k+2}=a_3(3a_0{J}_{3,2}+2a_1{J}_{3,3})=a_3\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 3a_0\\ 0& 3a_0& 2a_1\end{array}\right].$

Definicja rekursyjna

Macierze $A_n,$ których wyznacznik jest wyróżnikiem wielomianu stopnia $n$ zdefiniowane są rekursyjnie. Niech $A_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right].$ Jeżeli już określona jest macierz $A_{n-1},$ to $A_n=L_n{A}_n^{\text{'}}{L}_n^{\mathrm{T}}-B_n,$ gdzie

$L_n=\left[\begin{array}{ccccc}& & & & -1\\ & I_{n-1}& & & 0\\ & & & & ⋮\\ & & & & 0\\ a_{n-1}& 0& \dots & 0& 0\end{array}\right],A_n^{\text{'}}=\left[\begin{array}{cccc}& & & 0\\ & A_{n-1}& & ⋮\\ & & & 0\\ 0& \dots & 0& 1\end{array}\right],$

a $B_n$ jest macierzą stopnia $n$ jak wyżej.

Macierz $A_{n-1}$ (i podobnie $I_{n-1}$) zajmuje pozycję w lewym górnym narożniku, a poza wskazaną jednością, w ostatniej kolumnie i ostatnim wierszu są same zera.

Łatwo dowieść indukcyjnie, że tak zdefiniowane macierze $A_n$ są symetryczne.

Dowód: Dla $n=1$ jest to oczywiste. Załóżmy w kroku indukcyjnym, że macierz $A_{n-1}$ jest symetryczna. Z założenia indukcyjnego i określenia macierzy $A_n^{\text{'}}$ wynika, że $A_n^{\text{'}}$ jest symetryczna, czyli $A_n^{\text{'}\mathrm{T}}=A_n^{\text{'}}.$

Sprawdźmy, że macierz $C_n=L_n{A}_n^{\text{'}}{L}_n^{\mathrm{T}}$ jest symetryczna.

$C_n^{\mathrm{T}}=(L_n{A}_n^{\text{'}}{L}_n^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=(L_n^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}{A}_n^{\text{'}\mathrm{T}}{L}_n^{\mathrm{T}}=L_n{A}_n^{\text{'}}{L}_n^{\mathrm{T}}=C_n.$

Macierz $B_n$ jest symetryczna, bo jest sumą macierzy symetrycznych $J_{n,k}$ z pewnymi współczynnikami. Zatem $A_n,$ jako różnica $C_n-B_n$ macierzy symetrycznych, jest symetryczna, co kończy krok indukcyjny.

Przykłady

Przykładowe pierwsze kroki rekursji są następujące.

$A_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],$   $A_2=L_2{A}_2^{\text{'}}{L}_2^{\mathrm{T}}-B_2,$

gdzie $A_2^{\text{'}}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=I_2,L_2=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ a_1& 0\end{array}\right],B_2=a_2\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 2a_0\end{array}\right].$

Stąd $A_2=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ a_1& 0\end{array}\right]I_2\left[\begin{array}{cc}1& a_1\\ -1& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 2a_0{a}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& a_1\\ a_1& a_1^2-2a_0{a}_2\end{array}\right].$

Zmieńmy teraz oznaczenia współczynników wielomianu $f(x)=a_0{x}^2+a_{1}x+a_2,$ przyjmując $a_0=a,a_1=b,a_2=c,\dots$ itd., także dla wielomianów wyższych stopni.

Otrzymaliśmy $A_2=\left[\begin{array}{cc}2& b\\ b& b^2-2ac\end{array}\right]$

i możemy wyliczyć macierz $A_3=L_3{A}_3^{\text{'}}{L}_3^{\mathrm{T}}-B_3.$

$A_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ c& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& b& 0\\ b& b^2-2ac& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& c\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 3ad\\ 0& 3ad& 2bd\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3& b& 2c\\ b& b^2-2ac& bc-3ad\\ 2c& bc-3ad& 2c^2-2bd\end{array}\right].$

Licząc w ten sposób dalej, dostajemy

$A_4=\left[\begin{array}{cccc}4& b& 2c& 3d\\ b& b^2-2ac& bc-3ad& bd-4ae\\ 2c& bc-3ad& 2c^2-2bd-4ae& 2cd-3be\\ 3d& bd-4ae& 2cd-3be& 3d^2-2ce\end{array}\right],$

$A_5=\left[\begin{array}{ccccc}5& b& 2c& 3d& 4e\\ b& b^2-2ac& bc-3ad& bd-4ae& be-5af\\ 2c& bc-3ad& 2c^2-2bd-4ae& 2cd-3be-5af& 2ce-4bf\\ 3d& bd-4ae& 2cd-3be-5af& 3d^2-2ce-4bf& 3de-3cf\\ 4e& be-5af& 2ce-4bf& 3de-3cf& 4e^2-2df\end{array}\right].$

Wyróżniki odpowiednich wielomianów są wyznacznikami tych macierzy, czyli

${\mathrm{\Delta }}_1(a,b)=\det A_1,{\mathrm{\Delta }}_2(a,b,c)=\det A_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_5(a,b,c,d,e,f)=\det A_5.$

Wyróżnik wielomianu stopnia $n$ jest wielomianem jednorodnym stopnia $2n-2$ zależnym od $n+1$ zmiennych – współczynników wielomianu.

Związek z macierzą Bezouta

Dla dwóch wielomianów $f,g\in K[x]$ spełniających $n=\max (\mathrm{deg}(f),\mathrm{deg}(g))⩾1$ (jeden z nich może być zerowy, jeśli drugi ma dodatni stopień) zdefiniowana jest macierz Bezouta stopnia $n.$ Zwykle oznacza się ją $B_n(f,g).$ Niżej przytoczone są tylko podstawowe informacje o tej macierzy wystarczające dla celów niniejszego artykułu, to znaczy bez dokładnej definicji, bez wzorów określających jej współrzędne i bez własności, ponieważ szczegóły znajdują się we wskazanym artykule.

1. Współrzędne macierzy Bezouta $B_n(f,g)$ zależą od współczynników wielomianów $f$ i $g$ i wyrażają się wielomianowo przez te współczynniki, czyli należą do ciała $K.$

2. Macierz $B_n(f,g)$ jest symetryczna.

3. Istnieją jawne wzory określające jej współrzędne, a więc bez użycia rekursji i bez znajomości żadnej macierzy Bezouta niższego stopnia. Tutaj nie są przytoczone, gdyż wystarczająca jest tylko informacja, że takie wzory istnieją.

W szczególnym przypadku, gdy $g=f^{\prime },$ ($g$ jest pochodną wielomianu $f$), macierz Bezouta $B_n(f,f^{\prime })$ oznacza się przez $B_n(f).$ W myśl powyższych określeń stopień macierzy $n=\mathrm{deg}(f),$ więc wielomian $f$ musi być dodatniego stopnia.

Dalej rozważane są już tylko macierze Bezouta $B_n(f).$

Przyjmijmy takie oznaczenia współczynników wielomianu, by dla $n=1$ wielomian miał postać $f(x)=ax+b,$ dla $n=2$ postać $f(x)=a{x}^2+bx+c,$ i podobnie dla wyższych stopni.

Przykładowe macierze Bezouta wielomianów niższych stopni są następujące: $B_1(f)=\left[\begin{array}{c}{a}^2\end{array}\right],B_2(f)=\left[\begin{array}{cc}{b}^2-2ac& ab\\ ab& 2a^2\end{array}\right],B_3(f)=\left[\begin{array}{ccc}{c}^2-2bd& bc-3ad& ac\\ bc-3ad& 2b^2-2ac& 2ab\\ ac& 2ab& 3a^2\end{array}\right],B_4(f)=\left[\begin{array}{cccc}{d}^2-2ce& cd-3be& bd-4ae& ad\\ cd-3be& 2c^2-2bd-4ae& 2bc-3ad& 2ac\\ bd-4ae& 2bc-3ad& 3b^2-2ac& 3ab\\ ad& 2ac& 3ab& 4a^2\end{array}\right].$

Pewien ciąg prostych przekształceń prowadzi od macierzy $B_n(f)$ do macierzy $A_n,$ co stanowi związek między nimi.

Pomnożenie dowolnej macierzy przez $J_{n,1}$ z lewej strony powoduje odwrócenie kolejności jej wierszy, a z prawej strony – kolejności kolumn. Gdy dana macierz jest symetryczna, to pomnożenie jej z obu stron przez $J_{n,1}$ jest odbiciem względem antydiagonali.

Macierz Bezouta odbita względem antydiagonali $J_{n,1}{B}_n(f)J_{n,1}$ może być także nazywana (przy pewnej tolerancji dla terminologii) macierzą Bezouta. To przekształcenie nie jest bardzo istotne z teoretycznego punktu widzenia, nie zmienia wyznacznika (bo $\det J_{n,1}=(-1{)}^{n(n-1)/2}$), a ponadto w literaturze często spotyka się taką definicję macierzy Bezouta, że od samego początku ma ona tę przekształconą postać, co dodatkowo uzasadnia nazwę.

Ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta $B_n(f)$ wynika, że najwyższy współczynnik $a$ wielomianu jest mnożnikiem ostatniego wiersza i ostatniej kolumny, a więc pierwszego wiersza i pierwszej kolumny w macierzy $J_{n,1}{B}_n(f)J_{n,1}.$

Wprowadźmy oznaczenie $D_n(t)=\mathrm{diag}(t,1,\dots ,1).$ Mnożenie przez tę macierz z lewej strony mnoży pierwszy wiersz przez $t,$ a mnożenie z prawej strony mnoży przez $t$ pierwszą kolumnę, więc mnożenie z obu stron przez $D_n(a^{-1})$ usuwa „nadmiarowy” czynnik. Oznaczmy nową macierz przez $C_n(f),$ czyli

$C_n(f)=D_n(a^{-1})J_{n,1}{B}_n(f)J_{n,1}{D}_n(a^{-1}).$

Tej macierzy nie można już nazywać macierzą Bezouta, bo ma ona nie tylko inne współrzędne, lecz także inny wyznacznik (w ogólności)

$\det C_n(f)=a^{-2}\det B_n(f).$

Na przykład

$C_3(f)=D_3(a^{-1})J_{3,1}{B}_3(f)J_{3,1}{D}_3(a^{-1})=\left[\begin{array}{ccc}3& 2b& c\\ 2b& 2b^2-2ac& bc-3ad\\ c& bc-3ad& c^2-2bd\end{array}\right].$

Jest ona zbliżona pokrojem do macierzy $A_3,$ ale wciąż różna od niej. Kilka operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy $C_3(f),$ nie naruszających jej symetryczności, przekształca ją w $A_3.$

Od drugiego wiersza odejmijmy pierwszy wiersz pomnożony przez $b,$ od wiersza trzeciego odejmijmy wiersz pierwszy pomnożony przez $c,$ i zastosujmy analogiczne operacje do kolumn. Wreszcie pierwszy wiersz pomnóżmy przez $-1$ i pierwszą kolumnę też przez $-1.$ Macierz przekształcona jest równa $A_3.$

W zapisie macierzowym te elementarne operacje na kolumnach są określone macierzą

$F_3=\left[\begin{array}{ccc}-1& -b& -c\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

a dla wierszy jest to macierz $F_3^{\mathrm{T}},$ czyli $A_3=F_3^{\mathrm{T}}{C}_3(f)F_3.$

Ogólnie, przy odwróconym indeksowaniu współczynników wielomianu, tzn. $f(x)=a_0{x}^n+\dots +a_n,$

$F_n=\left[\begin{array}{cccc}-1& -a_1& \dots & -a_{n-1}\\ & 1& & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{array}\right]$

i $A_n=F_n^{\mathrm{T}}{C}_n(f)F_n.$

Ponieważ $\det F_n=-1,$ to $\det A_n=\det C_n(f),$ więc otrzymujemy związek pomiędzy wyróżnikiem i macierzą Bezouta

$D(f)=a_0^{-2}\det B_n(f).$

Macierz $F_n$ jest inwolutywna, to znaczy $F_n^2=I_n,$ skąd wynika, że wykonanie identycznych operacji elementarnych na macierzy $A_n$ przekształca ją z powrotem w $C_n(f),$ ponieważ

$F_n^{\mathrm{T}}{A}_n{F}_n=F_n^{\mathrm{T}}{F}_n^{\mathrm{T}}{C}_n(f)F_n{F}_n=I_n{C}_n(f)I_n=C_n(f).$

Zatem macierze $C_n(f)$ i $A_n$ przekształcają się wzajemnie na siebie pod działaniem operacji $F_n.$

Związek pomiędzy macierzą $A_n$ i macierzą Bezouta $B_n(f)$ wyraża się, po uwzględnieniu wszystkich zastosowanych przekształceń, równością

$A_n=F_n^{\mathrm{T}}{D}_n(a^{-1})J_{n,1}{B}_n(f)J_{n,1}{D}_n(a^{-1})F_n$

i na odwrót

$B_n(f)=J_{n,1}{D}_n(a)F_n^{\mathrm{T}}{A}_n{F}_n{D}_n(a)J_{n,1}.$

Choć $A_n$ nie jest macierzą Bezouta, to widoczny jest bliski związek między nimi.

Podsumowanie
1. Macierz $A_n$ nie musi być z konieczności obliczana rekursyjnie, bo można skorzystać ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta $B_n(f)$ i natychmiast otrzymać $C_n(f),$ a następnie obliczyć $A_n=F_n^{\mathrm{T}}{C}_n(f)F_n.$

2. Dla wielomianu stopnia $n$ istnieją macierze stopnia $n,$ których wyznacznik jest wyróżnikiem tego wielomianu i niezależnie od sposobu ich obliczenia (z użyciem rekursji lub bez niej) mogą w pewnych przypadkach ułatwiać obliczenie wyróżnika. Jest oczywiste, że można wybrać tę macierz, której wyznacznik oblicza się prościej.

Wyróżniki wielomianów stopni od 1 do 6

1. Wyróżnik wielomianu stopnia 1

$f(x)=ax+b$

${\mathrm{\Delta }}_1(a,b)=1$

2. Wyróżnik wielomianu stopnia 2

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

${\mathrm{\Delta }}_2(a,b,c)=-4ac+b^2$

3. Wyróżnik wielomianu stopnia 3

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

${\mathrm{\Delta }}_3(a,b,c,d)=-27a^2{d}^2+18abcd-4a{c}^3-4b^{3}d+b^2{c}^2$

4. Wyróżnik wielomianu stopnia 4

$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$

${\mathrm{\Delta }}_4(a,b,c,d,e)=$

$256a^3{e}^3-192a^{2}bd{e}^2-128a^2{c}^2{e}^2+144a^{2}c{d}^{2}e-27a^2{d}^4+144a{b}^{2}c{e}^2-6a{b}^2{d}^{2}e-80ab{c}^{2}de$

$+18abc{d}^3+16a{c}^{4}e-4a{c}^3{d}^2-27b^4{e}^2+18b^{3}cde-4b^3{d}^3-4b^2{c}^{3}e+b^2{c}^2{d}^2$

5. Wyróżnik wielomianu stopnia 5

    W celu zwiększenia przejrzystości wyróżnik ten (a także następny) został umieszczony w tabeli, a jego składniki
    uporządkowane leksykograficznie (jak w zapisie poprzednich wyróżników).

$p(x)=a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f$

${\mathrm{\Delta }}_5(a,b,c,d,e,f)=$

Nr	Znak	Czynnik	Jednomian		Nr	Znak	Czynnik	Jednomian		Nr	Znak	Czynnik	Jednomian
1	$+$	$3125$	$a^4{f}^4$		21	$+$	$144$	$a^{2}c{d}^2{e}^3$		41	$+$	$16$	$a{c}^4{e}^3$
2	$-$	$2500$	$a^{3}be{f}^3$		22	$+$	$108$	$a^2{d}^{5}f$		42	$+$	$16$	$a{c}^3{d}^{3}f$
3	$-$	$3750$	$a^{3}cd{f}^3$		23	$-$	$27$	$a^2{d}^4{e}^2$		43	$-$	$4$	$a{c}^3{d}^2{e}^2$
4	$+$	$2000$	$a^{3}c{e}^2{f}^2$		24	$-$	$1600$	$a{b}^{3}c{f}^3$		44	$+$	$256$	$b^5{f}^3$
5	$+$	$2250$	$a^3{d}^{2}e{f}^2$		25	$+$	$160$	$a{b}^{3}de{f}^2$		45	$-$	$192$	$b^{4}ce{f}^2$
6	$-$	$1600$	$a^{3}d{e}^{3}f$		26	$-$	$36$	$a{b}^3{e}^{3}f$		46	$-$	$128$	$b^4{d}^2{f}^2$
7	$+$	$256$	$a^3{e}^5$		27	$+$	$1020$	$a{b}^2{c}^{2}e{f}^2$		47	$+$	$144$	$b^{4}d{e}^{2}f$
8	$+$	$2000$	$a^2{b}^{2}d{f}^3$		28	$+$	$560$	$a{b}^{2}c{d}^2{f}^2$		48	$-$	$27$	$b^4{e}^4$
9	$-$	$50$	$a^2{b}^2{e}^2{f}^2$		29	$-$	$746$	$a{b}^{2}cd{e}^{2}f$		49	$+$	$144$	$b^3{c}^{2}d{f}^2$
10	$+$	$2250$	$a^{2}b{c}^2{f}^3$		30	$+$	$144$	$a{b}^{2}c{e}^4$		50	$-$	$6$	$b^3{c}^2{e}^{2}f$
11	$-$	$2050$	$a^{2}bcde{f}^2$		31	$+$	$24$	$a{b}^2{d}^{3}ef$		51	$-$	$80$	$b^{3}c{d}^{2}ef$
12	$+$	$160$	$a^{2}bc{e}^{3}f$		32	$-$	$6$	$a{b}^2{d}^2{e}^3$		52	$+$	$18$	$b^{3}cd{e}^3$
13	$-$	$900$	$a^{2}b{d}^3{f}^2$		33	$-$	$630$	$ab{c}^{3}d{f}^2$		53	$+$	$16$	$b^3{d}^{4}f$
14	$+$	$1020$	$a^{2}b{d}^2{e}^{2}f$		34	$+$	$24$	$ab{c}^3{e}^{2}f$		54	$-$	$4$	$b^3{d}^3{e}^2$
15	$-$	$192$	$a^{2}bd{e}^4$		35	$+$	$356$	$ab{c}^2{d}^{2}ef$		55	$-$	$27$	$b^2{c}^4{f}^2$
16	$-$	$900$	$a^2{c}^{3}e{f}^2$		36	$-$	$80$	$ab{c}^{2}d{e}^3$		56	$+$	$18$	$b^2{c}^{3}def$
17	$+$	$825$	$a^2{c}^2{d}^2{f}^2$		37	$-$	$72$	$abc{d}^{4}f$		57	$-$	$4$	$b^2{c}^3{e}^3$
18	$+$	$560$	$a^2{c}^{2}d{e}^{2}f$		38	$+$	$18$	$abc{d}^3{e}^2$		58	$-$	$4$	$b^2{c}^2{d}^{3}f$
19	$-$	$128$	$a^2{c}^2{e}^4$		39	$+$	$108$	$a{c}^5{f}^2$		59	$+$	$1$	$b^2{c}^2{d}^2{e}^2$
20	$-$	$630$	$a^{2}c{d}^{3}ef$		40	$-$	$72$	$a{c}^{4}def$

6. Wyróżnik wielomianu stopnia 6

$p(x)=a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3+e{x}^2+fx+g$

${\mathrm{\Delta }}_6(a,b,c,d,e,f,g)=$

Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom
1	$-$	$46656$	$a^5{g}^5$		51	$-$	$31320$	$a^2{b}^{2}cdf{g}^3$		101	$-$	$4860$	$a^{2}c{d}^{4}e{g}^2$		151	$-$	$6$	$a{b}^2{d}^2{e}^3{f}^2$		201	$+$	$1020$	$b^{4}c{e}^2{f}^{2}g$
2	$+$	$38880$	$a^{4}bf{g}^4$		52	$-$	$6480$	$a^2{b}^{2}c{e}^2{g}^3$		102	$+$	$162$	$a^{2}c{d}^4{f}^{2}g$		152	$+$	$6912$	$ab{c}^{4}d{g}^3$		202	$-$	$192$	$b^{4}ce{f}^4$
3	$+$	$62208$	$a^{4}ce{g}^4$		53	$+$	$8748$	$a^2{b}^{2}ce{f}^2{g}^2$		103	$+$	$2808$	$a^{2}c{d}^3{e}^{2}fg$		153	$-$	$640$	$ab{c}^{4}ef{g}^2$		203	$-$	$900$	$b^4{d}^{3}f{g}^2$
4	$-$	$32400$	$a^{4}c{f}^2{g}^3$		54	$-$	$1700$	$a^2{b}^{2}c{f}^{4}g$		104	$-$	$630$	$a^c{d}^{3}e{f}^3$		154	$+$	$144$	$ab{c}^4{f}^{3}g$		204	$+$	$825$	$b^4{d}^2{e}^2{g}^2$
5	$+$	$34992$	$a^4{d}^2{g}^4$		55	$-$	$27540$	$a^2{b}^2{d}^{2}e{g}^3$		105	$-$	$576$	$a^{2}c{d}^2{e}^{4}g$		155	$-$	$4464$	$ab{c}^3{d}^{2}f{g}^2$		205	$+$	$560$	$b^4{d}^{2}e{f}^{2}g$
6	$-$	$77760$	$a^{4}def{g}^3$		56	$+$	$15417$	$a^2{b}^2{d}^2{f}^2{g}^2$		106	$+$	$144$	$a^{2}c{d}^2{e}^3{f}^2$		156	$-$	$2496$	$ab{c}^{3}d{e}^2{g}^2$		206	$-$	$128$	$b^4{d}^2{f}^4$
7	$+$	$27000$	$a^{4}d{f}^3{g}^2$		57	$+$	$16632$	$a^2{b}^{2}d{e}^{2}f{g}^2$		107	$+$	$729$	$a^2{d}^6{g}^2$		157	$+$	$3272$	$ab{c}^{3}de{f}^{2}g$		207	$-$	$630$	$b^{4}d{e}^{3}fg$
8	$-$	$13824$	$a^4{e}^3{g}^3$		58	$-$	$12330$	$a^2{b}^{2}de{f}^{3}g$		108	$-$	$486$	$a^2{d}^{5}efg$		158	$-$	$630$	$ab{c}^{3}d{f}^4$		208	$+$	$144$	$b^{4}d{e}^2{f}^3$
9	$+$	$43200$	$a^4{e}^2{f}^2{g}^2$		59	$+$	$2000$	$a^2{b}^{2}d{f}^5$		109	$+$	$108$	$a^2{d}^5{f}^3$		159	$-$	$96$	$ab{c}^3{e}^{3}fg$		209	$+$	$108$	$b^4{e}^{5}g$
10	$-$	$22500$	$a^{4}e{f}^{4}g$		60	$-$	$192$	$a^2{b}^2{e}^4{g}^2$		110	$+$	$108$	$a^2{d}^4{e}^{3}g$		160	$+$	$24$	$ab{c}^3{e}^2{f}^3$		210	$-$	$27$	$b^4{e}^4{f}^2$
11	$+$	$3125$	$a^4{f}^6$		61	$+$	$248$	$a^2{b}^2{e}^3{f}^{2}g$		111	$-$	$27$	$a^2{d}^4{e}^2{f}^2$		161	$+$	$2808$	$ab{c}^2{d}^{3}e{g}^2$		211	$-$	$1600$	$b^3{c}^{3}d{g}^3$
12	$-$	$32400$	$a^3{b}^{2}e{g}^4$		62	$-$	$50$	$a^2{b}^2{e}^2{f}^4$		112	$-$	$22500$	$a{b}^{4}c{g}^4$		162	$-$	$108$	$ab{c}^2{d}^3{f}^{2}g$		212	$+$	$160$	$b^3{c}^{3}ef{g}^2$
13	$+$	$540$	$a^3{b}^2{f}^2{g}^3$		63	$-$	$21888$	$a^{2}b{c}^{3}f{g}^3$		113	$+$	$2250$	$a{b}^{4}df{g}^3$		163	$-$	$1584$	$ab{c}^2{d}^2{e}^{2}fg$		213	$-$	$36$	$b^3{c}^3{f}^{3}g$
14	$-$	$77760$	$a^{3}bcd{g}^4$		64	$-$	$3456$	$a^b{c}^{2}de{g}^3$		114	$+$	$1500$	$a{b}^4{e}^2{g}^3$		164	$+$	$356$	$ab{c}^2{d}^{2}e{f}^3$		214	$+$	$1020$	$b^3{c}^2{d}^{2}f{g}^2$
15	$+$	$31968$	$a^{3}bcef{g}^3$		65	$+$	$16632$	$a^{2}b{c}^{2}d{f}^2{g}^2$		115	$-$	$1700$	$a{b}^{4}e{f}^2{g}^2$		165	$+$	$320$	$ab{c}^{2}d{e}^{4}g$		215	$+$	$560$	$b^3{c}^{2}d{e}^2{g}^2$
16	$-$	$1800$	$a^{3}bc{f}^3{g}^2$		66	$+$	$15264$	$a^{2}b{c}^2{e}^{2}f{g}^2$		116	$+$	$320$	$a{b}^4{f}^{4}g$		166	$-$	$80$	$ab{c}^{2}d{e}^3{f}^2$		216	$-$	$746$	$b^3{c}^{2}de{f}^{2}g$
17	$+$	$15552$	$a^{3}b{d}^{2}f{g}^3$		67	$-$	$13040$	$a^{2}b{c}^{2}e{f}^{3}g$		117	$+$	$15600$	$a{b}^3{c}^{2}f{g}^3$		167	$-$	$486$	$abc{d}^5{g}^2$		217	$+$	$144$	$b^3{c}^{2}d{f}^4$
18	$+$	$46656$	$a^{3}bd{e}^2{g}^3$		68	$+$	$2250$	$a^{2}b{c}^2{f}^5$		118	$+$	$19800$	$a{b}^{3}cde{g}^3$		168	$+$	$324$	$abc{d}^{4}efg$		218	$+$	$24$	$b^3{c}^2{e}^{3}fg$
19	$-$	$31320$	$a^{3}bde{f}^2{g}^2$		69	$+$	$21384$	$a^{2}bc{d}^3{g}^3$		119	$-$	$12330$	$a{b}^{3}cd{f}^2{g}^2$		169	$-$	$72$	$abc{d}^4{f}^3$		219	$-$	$6$	$b^3{c}^2{e}^2{f}^3$
20	$+$	$2250$	$a^{3}bd{f}^{4}g$		70	$-$	$22896$	$a^{2}bc{d}^{2}ef{g}^2$		120	$-$	$13040$	$a{b}^{3}c{e}^{2}f{g}^2$		170	$-$	$72$	$abc{d}^3{e}^{3}g$		220	$-$	$630$	$b^{3}c{d}^{3}e{g}^2$
21	$-$	$21888$	$a^{3}b{e}^{3}f{g}^2$		71	$+$	$1980$	$a^{2}bc{d}^2{f}^{3}g$		121	$+$	$9768$	$a{b}^{3}ce{f}^{3}g$		171	$+$	$18$	$abc{d}^3{e}^2{f}^2$		221	$+$	$24$	$b^{3}c{d}^3{f}^{2}g$
22	$+$	$15600$	$a^{3}b{e}^2{f}^{3}g$		72	$-$	$5760$	$a^{2}bcd{e}^3{g}^2$		122	$-$	$1600$	$a{b}^{3}c{f}^5$		172	$-$	$1024$	$a{c}^6{g}^3$		222	$+$	$356$	$b^{3}c{d}^2{e}^{2}fg$
23	$-$	$2500$	$a^{3}be{f}^5$		73	$+$	$10152$	$a^{2}bcd{e}^2{f}^{2}g$		123	$-$	$1350$	$a{b}^3{d}^3{g}^3$		173	$+$	$768$	$a{c}^{5}df{g}^2$		223	$-$	$80$	$b^{3}c{d}^{2}e{f}^3$
24	$-$	$13824$	$a^3{c}^3{g}^4$		74	$-$	$2050$	$a^{2}bcde{f}^4$		124	$+$	$1980$	$a{b}^3{d}^{2}ef{g}^2$		174	$+$	$512$	$a{c}^5{e}^2{g}^2$		224	$-$	$72$	$b^{3}cd{e}^{4}g$
25	$+$	$46656$	$a^3{c}^{2}df{g}^3$		75	$-$	$640$	$a^{2}bc{e}^{4}fg$		125	$-$	$208$	$a{b}^3{d}^2{f}^{3}g$		175	$-$	$576$	$a{c}^{5}e{f}^{2}g$		225	$+$	$18$	$b^{3}cd{e}^3{f}^2$
26	$-$	$17280$	$a^3{c}^2{e}^2{g}^3$		76	$+$	$160$	$a^{2}bc{e}^3{f}^3$		126	$-$	$120$	$a{b}^{3}d{e}^3{g}^2$		176	$+$	$108$	$a{c}^5{f}^4$		226	$+$	$108$	$b^3{d}^5{g}^2$
27	$-$	$6480$	$a^3{c}^{2}e{f}^2{g}^2$		77	$-$	$6318$	$a^{2}b{d}^{4}f{g}^2$		127	$-$	$682$	$a{b}^{3}d{e}^2{f}^{2}g$		177	$-$	$576$	$a{c}^4{d}^{2}e{g}^2$		227	$-$	$72$	$b^3{d}^{4}efg$
28	$+$	$1500$	$a^3{c}^2{f}^{4}g$		78	$+$	$5832$	$a^{2}b{d}^3{e}^2{g}^2$		128	$+$	$160$	$a{b}^{3}de{f}^4$		178	$+$	$24$	$a{c}^4{d}^2{f}^{2}g$		228	$+$	$16$	$b^3{d}^4{f}^3$
29	$+$	$3888$	$a^{3}c{d}^{2}e{g}^3$		79	$+$	$3942$	$a^{2}b{d}^{3}e{f}^{2}g$		129	$+$	$144$	$a{b}^3{e}^{4}fg$		179	$+$	$320$	$a{c}^{4}d{e}^{2}fg$		229	$+$	$16$	$b^3{d}^3{e}^{3}g$
30	$-$	$27540$	$a^{3}c{d}^2{f}^2{g}^2$		80	$-$	$900$	$a^{2}b{d}^3{f}^4$		130	$-$	$36$	$a{b}^3{e}^3{f}^3$		180	$-$	$72$	$a{c}^{4}de{f}^3$		230	$-$	$4$	$b^3{d}^3{e}^2{f}^2$
31	$-$	$3456$	$a^{3}cd{e}^{2}f{g}^2$		81	$-$	$4464$	$a^{2}b{d}^2{e}^{3}fg$		131	$-$	$10560$	$a{b}^2{c}^{3}e{g}^3$		181	$-$	$64$	$a{c}^4{e}^{4}g$		231	$+$	$256$	$b^2{c}^5{g}^3$
32	$+$	$19800$	$a^{3}cde{f}^{3}g$		82	$+$	$1020$	$a^{2}b{d}^2{e}^2{f}^3$		132	$+$	$248$	$a{b}^2{c}^3{f}^2{g}^2$		182	$+$	$16$	$a{c}^4{e}^3{f}^2$		232	$-$	$192$	$b^2{c}^{4}df{g}^2$
33	$-$	$3750$	$a^{3}cd{f}^5$		83	$+$	$768$	$a^{2}bd{e}^{5}g$		133	$-$	$9720$	$a{b}^2{c}^2{d}^2{g}^3$		183	$+$	$108$	$a{c}^3{d}^4{g}^2$		233	$-$	$128$	$b^2{c}^4{e}^2{g}^2$
34	$+$	$9216$	$a^{3}c{e}^4{g}^2$		84	$-$	$192$	$a^{2}bd{e}^4{f}^2$		134	$+$	$10152$	$a{b}^2{c}^{2}def{g}^2$		184	$-$	$72$	$a{c}^3{d}^{3}efg$		234	$+$	$144$	$b^2{c}^{4}e{f}^{2}g$
35	$-$	$10560$	$a^{3}c{e}^3{f}^{2}g$		85	$+$	$9216$	$a^2{c}^{4}e{g}^3$		135	$-$	$682$	$a{b}^2{c}^{2}d{f}^{3}g$		185	$+$	$16$	$a{c}^3{d}^3{f}^3$		235	$-$	$27$	$b^2{c}^4{f}^4$
36	$+$	$2000$	$a^{3}c{e}^2{f}^4$		86	$-$	$192$	$a^2{c}^4{f}^2{g}^2$		136	$+$	$4816$	$a{b}^2{c}^2{e}^3{g}^2$		186	$+$	$16$	$a{c}^3{d}^2{e}^{3}g$		236	$+$	$144$	$b^2{c}^3{d}^{2}e{g}^2$
37	$-$	$8748$	$a^3{d}^4{g}^3$		87	$-$	$8640$	$a^2{c}^3{d}^2{g}^3$		137	$-$	$5428$	$a{b}^2{c}^2{e}^2{f}^{2}g$		187	$-$	$4$	$a{c}^3{d}^2{e}^2{f}^2$		237	$-$	$6$	$b^2{c}^3{d}^2{f}^{2}g$
38	$+$	$21384$	$a^3{d}^{3}ef{g}^2$		88	$-$	$5760$	$a^2{c}^{3}def{g}^2$		138	$+$	$1020$	$a{b}^2{c}^{2}e{f}^4$		188	$+$	$3125$	$b^6{g}^4$		238	$-$	$80$	$b^2{c}^{3}d{e}^{2}fg$
39	$-$	$1350$	$a^3{d}^3{f}^{3}g$		89	$-$	$120$	$a^2{c}^{3}d{f}^{3}g$		139	$+$	$3942$	$a{b}^{2}c{d}^{3}f{g}^2$		189	$-$	$2500$	$b^{5}cf{g}^3$		239	$+$	$18$	$b^2{c}^{3}de{f}^3$
40	$-$	$8640$	$a^3{d}^2{e}^3{g}^2$		90	$-$	$4352$	$a^2{c}^3{e}^3{g}^2$		140	$-$	$4536$	$a{b}^{2}c{d}^2{e}^2{g}^2$		190	$-$	$3750$	$b^{5}de{g}^3$		240	$+$	$16$	$b^2{c}^3{e}^{4}g$
41	$-$	$9720$	$a^3{d}^2{e}^2{f}^{2}g$		91	$+$	$4816$	$a^2{c}^3{e}^2{f}^{2}g$		141	$-$	$2412$	$a{b}^{2}c{d}^{2}e{f}^{2}g$		191	$+$	$2000$	$b^{5}d{f}^2{g}^2$		241	$-$	$4$	$b^2{c}^3{e}^3{f}^2$
42	$+$	$2250$	$a^3{d}^{2}e{f}^4$		92	$-$	$900$	$a^2{c}^{3}e{f}^4$		142	$+$	$560$	$a{b}^{2}c{d}^2{f}^4$		192	$+$	$2250$	$b^5{e}^{2}f{g}^2$		242	$-$	$27$	$b^2{c}^2{d}^4{g}^2$
43	$+$	$6912$	$a^{3}d{e}^{4}fg$		93	$+$	$5832$	$a^2{c}^2{d}^{3}f{g}^2$		143	$+$	$3272$	$a{b}^{2}cd{e}^{3}fg$		193	$-$	$1600$	$b^{5}e{f}^{3}g$		243	$+$	$18$	$b^2{c}^2{d}^{3}efg$
44	$-$	$1600$	$a^{3}d{e}^3{f}^3$		94	$+$	$8208$	$a^2{c}^2{d}^2{e}^2{g}^2$		144	$-$	$746$	$a{b}^{2}cd{e}^2{f}^3$		194	$+$	$256$	$b^5{f}^5$		244	$-$	$4$	$b^2{c}^2{d}^3{f}^3$
45	$-$	$1024$	$a^3{e}^{6}g$		95	$-$	$4536$	$a^2{c}^2{d}^{2}e{f}^{2}g$		145	$-$	$576$	$a{b}^{2}c{e}^{5}g$		195	$+$	$2000$	$b^4{c}^{2}e{g}^3$		245	$-$	$4$	$b^2{c}^2{d}^2{e}^{3}g$
46	$+$	$256$	$a^3{e}^5{f}^2$		96	$+$	$825$	$a^2{c}^2{d}^2{f}^4$		146	$+$	$144$	$a{b}^{2}c{e}^4{f}^2$		196	$-$	$50$	$b^4{c}^2{f}^2{g}^2$		246	$+$	$1$	$b^2{c}^2{d}^2{e}^2{f}^2$
47	$+$	$27000$	$a^2{b}^{3}d{g}^4$		97	$-$	$2496$	$a^2{c}^{2}d{e}^{3}fg$		147	$+$	$162$	$a{b}^2{d}^{4}e{g}^2$		197	$+$	$2250$	$b^{4}c{d}^2{g}^3$
48	$-$	$1800$	$a^2{b}^{3}ef{g}^3$		98	$+$	$560$	$a^2{c}^{2}d{e}^2{f}^3$		148	$-$	$108$	$a{b}^2{d}^3{e}^{2}fg$		198	$-$	$2050$	$b^{4}cdef{g}^2$
49	$+$	$410$	$a^2{b}^3{f}^3{g}^2$		99	$+$	$512$	$a^2{c}^2{e}^{5}g$		149	$+$	$24$	$a{b}^2{d}^{3}e{f}^3$		199	$+$	$160$	$b^{4}cd{f}^{3}g$
50	$+$	$43200$	$a^2{b}^2{c}^2{g}^4$		100	$-$	$128$	$a^2{c}^2{e}^4{f}^2$		150	$+$	$24$	$a{b}^2{d}^2{e}^{4}g$		200	$-$	$900$	$b^{4}c{e}^3{g}^2$

Inne przykłady

Wyróżnikiem trójmianu $a{x}^n+bx+c$ jest

• $D(a{x}^n+bx+c)={\mathrm{\Delta }}_n(a,0,\dots ,0,b,c)=(-1{)}^{n(n-1)/2}((1-n{)}^{n-1}{a}^{n-2}{b}^n+n^n{a}^{n-1}{c}^{n-1}).$

Gdy przyjmiemy $b=0,$ to otrzymamy przypadek szczególny dla dwumianu $a{x}^n+c.$ Jako przypadek szczególny wzoru prawdziwego dla $n⩾2,$ jest on spełniony dla tych $n,$ ale nie ma pewności, że także dla $n=1.$ Bezpośrednio sprawdzamy, że pozostaje w mocy dla $n=1.$

• $D(a{x}^n+c)=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{n}^n{a}^{n-1}{c}^{n-1}$ dla $n⩾1$

Gdy zaś przyjmiemy $c=0,$ to otrzymamy drugi przypadek szczególny dla dwumianu $a{x}^n+bx.$

$D(a{x}^n+bx)=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(1-n{)}^{n-1}{a}^{n-2}{b}^n=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}(-1{)}^{n-1}(n-1{)}^{n-1}{a}^{n-2}{b}^n$

$=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}+n-1}(n-1{)}^{n-1}{a}^{n-2}{b}^n=(-1{)}^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1{)}^{n-1}{a}^{n-2}{b}^n$

• $D(a{x}^n+bx)=(-1{)}^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1{)}^{n-1}{a}^{n-2}{b}^n$ dla $n⩾2$

Ten wynik można otrzymać prościej, korzystając ze wzoru redukcyjnego (patrz następny rozdział) i poprzedniego wyróżnika. $D(a{x}^n+bx)=D((a{x}^{n-1}+b)x)=b^{2}D(a{x}^{n-1}+b)=b^2(-1{)}^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1{)}^{n-1}{a}^{n-2}{b}^{n-2}$

$=(-1{)}^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1{)}^{n-1}{a}^{n-2}{b}^n$

Pierwszy wzór na liście ma uogólnienie na dowolny trójmian znalezione przez R.G. Swana (1962)Szablon:OdnSzablon:R.

Niech $n>m>0$ i niech $d=(n,m)$, $n=n_{1}d,m=m_{1}d.$ Wtedy

• $D(a{x}^n+b{x}^m+c)=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}^{(n-m-1)}{c}^{(m-1)}{(n^{n_1}{a}^{m_1}{c}^{n_1-m_1}+(-1{)}^{n_1+1}(n-m{)}^{n_1-m_1}{m}^{m_1}{b}^{n_1})}^d$

Można oznaczyć dodatkowo $s=(-1{)}^{n_1+1}(n-m{)}^{n_1-m_1},$ by wzór miał bardziej zwartą postać

• $D(a{x}^n+b{x}^m+c)=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}^{(n-m-1)}{c}^{(m-1)}{(n^{n_1}{a}^{m_1}{c}^{n_1-m_1}+s{m}^{m_1}{b}^{n_1})}^d$

Dowolny trójmian jednej zmiennej ma postać $a{x}^n+b{x}^m+c{x}^l,$ gdzie $n>m>l⩾0.$ Jeżeli $l>1,$ to jego wyróżnik jest równy zeru (pierwiastek wielokrotny $0$), jeżeli $l=0,$ to stosuje się ostatni wzór z listy, a jeżeli $l=1,$ to można zastosować wzór redukcyjny $D(a{x}^n+b{x}^m+cx)=c^{2}D(a{x}^{n-1}+b{x}^{m-1}+c)$ i ostatni wyróżnik obliczyć ze wzoru Swana. Znane są zatem ogólne wzory na wyróżnik dowolnego trójmianu i dowolnego dwumianu. Przypadek jednomianu jest trywialny, choć jednomian nie może być dowolny, bo dla stopnia 0 wyróżnik nie jest zdefiniowany.

Zależności między wyróżnikami

Niech ${\tilde{A}}_n$ będzie macierzą $A_n,$ w której $a_n=0$ i podobnie dla ${\tilde{B}}_n.$ W macierzy $L_n{A}_n^{\text{'}}{L}_n^{\mathrm{T}}$ nie występuje wyraz wolny $a_n,$ więc pozostaje ona bez zmian, zaś ${\tilde{B}}_n=0,$ co wynika wprost z definicji macierzy $B_n.$ Stąd dostajemy

${\mathrm{\Delta }}_n(a_0,\dots ,a_{n-1},0)=\det {\tilde{A}}_n=\det (L_n{A}_n^{\text{'}}{L}_n^{\mathrm{T}})=\det L_n\det A_n^{\text{'}}\det L_n^{\mathrm{T}}.$

Ponieważ $\det L_n=a_{n-1},$ to

$\det L_n\det A_n^{\text{'}}\det L_n^{\mathrm{T}}=a_{n-1}^2\det A_n^{\text{'}}=a_{n-1}^2\det A_{n-1}=a_{n-1}^2{\mathrm{\Delta }}_{n-1}(a_0,\dots ,a_{n-1}).$

Przeto

${\mathrm{\Delta }}_n(a_0,\dots ,a_{n-1},0)=a_{n-1}^2{\mathrm{\Delta }}_{n-1}(a_0,\dots ,a_{n-1})$ dla $n⩾2.$

Bardziej znany jest inny dowód tej zależności, w którym nie korzysta się z definicji rekursyjnej.

Przykład

Wyróżnik ${\mathrm{\Delta }}_4(a,b,c,d,e)$ wielomianu 4 stopnia ma 16 składników. Gdy przyjąć w nim $e=0,$ to pozostanie tylko 5 składników, a po wyciągnięciu $d^2$ przed nawias, w nawiasie otrzymamy wyróżnik ${\mathrm{\Delta }}_3(a,b,c,d)$ wielomianu 3 stopnia.

Zachodzi też równość do pewnego stopnia symetryczna względem powyższej. Gdy do wyróżnika ${\mathrm{\Delta }}_n(a_0,a_1,\dots ,a_n)$ podstawimy $a_0=0,$ to nie otrzymamy wyróżnika żadnego wielomianu, bo wszystkie rozważania prowadzone są przy założeniu, że wielomian jest stopnia $n,$ to znaczy z $a_0\ne 0.$ Tym niemniej, rozpatrując ten wyróżnik jako pewien wielomian zależny od $n+1$ zmiennych, można przyjąć w nim $a_0=0$ i rozważyć czym jest otrzymane wyrażenie. Okazuje się, że przy założeniu $a_1\ne 0$ spełniona jest równość

${\mathrm{\Delta }}_n(0,a_1,\dots ,a_n)=a_1^2{\mathrm{\Delta }}_{n-1}(a_1,\dots ,a_n)$ dla $n⩾2,$

gdzie ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}(a_1,\dots ,a_n)$ jest wyróżnikiem wielomianu $g(x)=a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\dots +a_{n-1}x+a_n$ stopnia $n-1.$ Poniżej przedstawiony jest tylko przykładowy dowód dla przypadku szczególnego $n=3,$ gdyż uogólnienie na dowolne $n⩾2$ jest oczywiste, choć nieco uciążliwe w zapisie.

Dowód: Wyróżnikiem wielomianu $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ stopnia 3 jest z definicji ${\mathrm{\Delta }}_3(a,b,c,d)=-\frac{1}{a}\left|\begin{array}{ccccc}a& b& c& d& 0\\ 0& a& b& c& d\\ 3a& 2b& c& 0& 0\\ 0& 3a& 2b& c& 0\\ 0& 0& 3a& 2b& c\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccccc}1& b& c& d& 0\\ 0& a& b& c& d\\ 3& 2b& c& 0& 0\\ 0& 3a& 2b& c& 0\\ 0& 0& 3a& 2b& c\end{array}\right|.$

W tej postaci, ze skróconym wyrazem $a$ w mianowniku, możliwe jest już podstawienie w macierzy $a=0,$ więc otrzymujemy ${\mathrm{\Delta }}_3(0,b,c,d)=-\left|\begin{array}{ccccc}1& b& c& d& 0\\ 0& 0& b& c& d\\ 3& 2b& c& 0& 0\\ 0& 0& 2b& c& 0\\ 0& 0& 0& 2b& c\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}0& b& c& d\\ 2b& c& 0& 0\\ 0& 2b& c& 0\\ 0& 0& 2b& c\end{array}\right|-3\left|\begin{array}{cccc}b& c& d& 0\\ 0& b& c& d\\ 0& 2b& c& 0\\ 0& 0& 2b& c\end{array}\right|=2b\left|\begin{array}{ccc}b& c& d\\ 2b& c& 0\\ 0& 2b& c\end{array}\right|-3b\left|\begin{array}{ccc}b& c& d\\ 2b& c& 0\\ 0& 2b& c\end{array}\right|=-b\left|\begin{array}{ccc}b& c& d\\ 2b& c& 0\\ 0& 2b& c\end{array}\right|.$ Z drugiej strony, dla wielomianu $g(x)=b{x}^2+cx+d,$ gdzie $b\ne 0,$ mamy z definicji ${\mathrm{\Delta }}_2(b,c,d)=-\frac{1}{b}\left|\begin{array}{ccc}b& c& d\\ 2b& c& 0\\ 0& 2b& c\end{array}\right|.$

Zatem ${\mathrm{\Delta }}_3(0,b,c,d)=b^2{\mathrm{\Delta }}_2(b,c,d).$

Dowód ogólny przebiega analogicznie.

Przykład

Przedstawiona zależność jest wyraźnie widoczna, gdy wyróżniki są uporządkowane leksykograficznie, bo wtedy wszystkie składniki, w których występuje najwyższy współczynnik $a,$ znajdują się na początku, a te w których nie występuje – na końcu. W tabeli z wyróżnikiem wielomianu 5 stopnia składniki od 44 do 59, po podzieleniu każdego z nich przez $b^2,$ utworzą wyróżnik wielomianu $g(x)=b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f.$ Widoczne jest, że wszystkie współczynniki są dokładnie współczynnikami wyróżnika wielomianu 4 stopnia i są wypisane w tej samej kolejności.

Przy bardziej naturalnym indeksowaniu współczynników wielomianu pierwsza zależność ma postać ${\mathrm{\Delta }}_n(a_n,\dots ,a_1,0)=a_1^2{\mathrm{\Delta }}_{n-1}(a_n,\dots ,a_1).$

Może być także zapisana równoważnie w postaci wzoru redukcyjnego

$D(a_n{x}^n+\dots +a_{1}x)=a_1^{2}D(a_n{x}^{n-1}+\dots +a_1)$ dla $n⩾2$

lub $D(xf)=f^2(0)D(f)$ dla $\mathrm{deg}(f)⩾1.$

Podobny zapis w postaci wzoru redukcyjnego dla drugiej zależności nie jest możliwy.

Własności

W tych własnościach $n$ oznacza zawsze stopień odpowiedniego wielomianu, o ile występuje w danej równości.

Własności ogólne

• Gdy $K\subset L(L$ jest rozszerzeniem ciała $K)$ i $p\in K[x],$ to także $p\in L[x],$ a wyróżnik nie zależy od ciała, nad którym rozpatrywany jest wielomian $p,$ to znaczy $D_K(p)=D_L(p).$ Ta niezmienniczość względem rozszerzeń ciała $K$ wynika stąd, że wyróżnik zależy tylko od stopnia i współczynników wielomianu.
• $D(p)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $p$ ma pierwiastki wielokrotne
• $D(pq)=D(p)D(q)R^2(p,q)$ dla $\mathrm{deg}(p),\mathrm{deg}(q)⩾1,R$ – rugownik
• $D(\alpha p)={\alpha }^{2n-2}D(p)$ dla $\alpha \ne 0$

Własności przy zamianie zmiennej

• $D(f(x+\beta ))=D(f(x))$
• $D(f(\alpha x))={\alpha }^{n(n-1)}D(f(x))$ dla $\alpha \ne 0$

Ponieważ $\alpha x+\beta =\alpha (x+\beta /\alpha ),$ to dwie ostatnie własności można zapisać jako jedną ogólniejszą.

• $D(f(\alpha x+\beta ))={\alpha }^{n(n-1)}D(f(x))$ dla $\alpha \ne 0$

Własność 2, nazywana powyżej podstawową, decyduje o najczęstszych zastosowaniach wyróżnika. Własności od 2 do 6 łatwo wynikają z drugiej definicji z wyznacznikiem Vandermonda.

Pierwiastki wielomianu

Stopnie 1 i 2

Wielomian $p(x)=ax+b$ stopnia 1, nad dowolnym ciałem $K,$ ma zawsze pierwiastek $x_1=-b/a$ i ten jedyny pierwiastek należy do ciała $K.$

Wielomian $p(x)=a{x}^2+bx+c$ stopnia 2 nad ciałem $K$ o charakterystyce różnej od 2 (na przykład nad ciałem liczbowym) ma pierwiastki w $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest kwadratem w ciele $K.$ Jeżeli jest kwadratem, to pierwiastki wyrażają się dobrze znanym wzorem $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$ a jeżeli nie jest, to wielomian jest nierozkładalny w $K.$

Dowód tego twierdzenia jest bardzo podobny do dowodu dla ciała liczb rzeczywistych – przez wydzielenie z trójmianu pełnego kwadratuSzablon:Odn.

Jeśli $K=ℝ$ jest ciałem liczb rzeczywistych, to wielomian stopnia 2 ma pierwiastki w $ℝ,$ gdy jego wyróżnik jest nieujemny. Już w ciele liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ jest inaczej: trójmian $x^2-3x+2$ ma pierwiastki wymierne, bo jego wyróżnik $\mathrm{\Delta }=1$ jest kwadratem w ciele $\mathbb{Q};$ trójmian $x^2-3x+1$ ma dodatni wyróżnik $\mathrm{\Delta }=5,$ więc ma pierwiastki rzeczywiste, ale nie ma pierwiastków wymiernych, bo 5 nie jest kwadratem liczby wymiernej.

Gdy charakterystyka ciała $\chi (K)=2,$ to ${\mathrm{\Delta }}_2(a,b,c)=b^2-4ac=b^2,$ bo w takich ciałach $4=0.$ Zatem wyróżnik jest zawsze kwadratem, a mianowicie elementu $b(-b=b,$ bo $-1=1).$ Można jednak wskazać trójmian kwadratowy, który nie ma pierwiastków w $K,$ co wyjaśnia założenie o charakterystyce w powyższym twierdzeniu.

Oczywiście do sprawdzenia krotności pierwiastków wciąż można (jak zawsze) posłużyć się wyróżnikiem. Wielomian $p,$ jak wyżej, ma jeden pierwiastek dwukrotny wtedy i tylko wtedy, gdy $b=0.$ W przypadku ciała skończonego pierwiastek dwukrotny jest elementem tego ciała.

Wielomiany w $ℝ[x]$

W tym podrozdziale stale obowiązuje założenie, że wielomian $f$ jest nad ciałem liczb rzeczywistych, czyli $f\in ℝ[x].$ Domknięciem algebraicznym ciała $ℝ$ jest ciało liczb zespolonych $ℂ,$ więc każdy wielomian ma wszystkie pierwiastki w $ℂ.$ Wielomianami nierozkładalnymi w $ℝ$ mogą być jedynie wielomiany 1 i 2 stopnia, więc każdy wielomian $f$ dodatniego stopnia rozkłada się w $ℝ$ na iloczyn wielomianów nierozkładalnych co najwyżej 2 stopnia. Jeżeli pewien czynnik w rozkładzie ma stopień 2, to jego dwa pierwiastki w ciele $ℂ$ są wzajemnie sprzężonymi liczbami zespolonymi, oczywiście nie rzeczywistymi. Zatem wszystkie pierwiastki nie rzeczywiste wielomianu, o ile takie istnieją, występują w parach sprzężonych. W przypadku gdy pierwiastek pary ma krotność większą niż 1, to także sprzężony z nim w parze ma tę samą krotność, więc można mówić o krotności całej pary pierwiastków.

Z wartości wyróżnika wielomianu można uzyskać pewną informację jakościową o pierwiastkach, tzn. o liczbie pierwiastków rzeczywistych, liczbie par zespolonych, ich krotnościach, bez obliczania tych pierwiastków. Jednak informacja otrzymana z samej wartości wyróżnika jest tym bardziej niekompletna, im większy jest stopień wielomianu. Do dokładnego rozpoznania potrzebne są inne metody.

Niech $\nu (f)$ oznacza liczbę par nie rzeczywistych pierwiastków sprzężonych wielomianu $f$ z uwzględnieniem krotności par. Zachodzi ogólne twierdzenie dla wielomianów dowolnego stopnia dodatniego.

Jeżeli $D(f)>0,$ to $\nu (f)$ jest liczbą parzystą (dopuszczalne 0), a jeżeli $D(f)<0,$ to $\nu (f)$ jest liczbą nieparzystą.

Założenia tego twierdzenia wykluczają pierwiastki wielokrotne.

Poniżej przedstawione są wnioski dla szczególnych przypadków niskich stopni. Stopień 2, omówiony już w poprzednim podrozdziale, został także włączony dla kompletności.

  Stopień 2

• $D(f)>0$   –   2 różne pierwiastki rzeczywiste
• $D(f)=0$   –   1 pierwiastek rzeczywisty dwukrotny
• $D(f)<0$   –   1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

  Stopień 3

• $D(f)>0$   –   3 różne pierwiastki rzeczywiste
• $D(f)=0$   –   2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym jeden dwukrotny lub 1 pierwiastek rzeczywisty trzykrotny
• $D(f)<0$   –   1 pierwiastek rzeczywisty i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

  Stopień 4

• $D(f)>0$   –   4 różne pierwiastki rzeczywiste lub 2 pary pierwiastków zespolonych sprzężonych
• $D(f)=0$   –   3 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 dwukrotny lub 2 różne pierwiastki rzeczywiste oba dwukrotne lub
  $$ 2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 trzykrotny lub 1 pierwiastek rzeczywisty czterokrotny lub
  $$ 1 pierwiastek rzeczywisty dwukrotny i 1 para pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
  $$ lub 1 para dwukrotna pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
• $D(f)<0$   –   2 różne pierwiastki rzeczywiste i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

  Stopień 5

• $D(f)>0$   –   5 różnych pierwiastków rzeczywistych lub 1 pierwiastek rzeczywisty i 2 pary pierwiastków zespolonych
  $$ sprzężonych
• $D(f)=0$   –   6 przypadków z pierwiastkami tylko rzeczywistymi lub 2 różne pierwiastki rzeczywiste w tym 1 dwukrotny i
  $$ 1 para pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych lub 1 pierwiastek rzeczywisty trzykrotny i 1 para
  $$ pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych lub 1 pierwiastek rzeczywisty i 1 para dwukrotna
  $$ pierwiastków nie rzeczywistych sprzężonych
• $D(f)<0$   –   3 różne pierwiastki rzeczywiste i 1 para pierwiastków zespolonych sprzężonych

Zastosowania, przykłady rachunkowe

We wzorach na wyróżniki, a także w innych wzorach, występują współczynniki całkowite. Oznaczają one sumę odpowiedniej liczby jedynek ciała $K,$ tzn. $m=1+\dots +1$ ($m$ jedynek). Jeżeli $\chi (K)\ne 0,$ to pewne sumy jedynek zerują się. Gdy $\chi (K)=3,$ to $8=(1+1+1)+(1+1+1)+1+1=0+0+2=2.$ Dlatego te współczynniki trzeba redukować modulo $\chi (K).$ Na przykład wyróżnik ${\mathrm{\Delta }}_3(a,b,c,d)$ upraszcza się w tym przypadku następująco: $-27a^2{d}^2+18abcd-4a{c}^3-4b^{3}d+b^2{c}^2=-1a{c}^3-1b^{3}d+b^2{c}^2=-a{c}^3-b^{3}d+b^2{c}^2$ i podobnie w innych przypadkach.

Przykład 1

Niech $f(x)=x^5-6x+3,f\in ℝ[x].$ Zbadajmy jakiego rodzaju są pierwiastki tego wielomianu. Można posłużyć się pełnym wyróżnikiem zamieszczonym w tabeli powyżej, ale wygodniej skorzystać z gotowego wzoru.

${\mathrm{\Delta }}_5(a,0,0,0,b,c)=(-1{)}^{(5\cdot 4)/2}((-4{)}^4{a}^3{b}^5+5^5{a}^4{c}^4)=5^5{a}^4{c}^4+4^4{a}^3{b}^5,$ więc

$\begin{array}{cc}D(f)& ={\mathrm{\Delta }}_5(1,0,0,0,-6,3)=5^5{3}^4+4^4(-6{)}^5=3125\cdot 81-256\cdot 7776=253125-1990656\\ & =-1737531<0.\end{array}$

Stąd wnioskujemy, że wielomian $f$ ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste i jedną parę pierwiastków zespolonych sprzężonych. Ten wynik można otrzymać także innymi sposobami, ale zastosowanie wyróżnika jest najszybsze.

Przykład 2

Wypiszmy wszystkie wielomiany 2 stopnia nad ciałem ${\mathrm{F}}_2.$ Każdy niezerowy wielomian w ${\mathrm{F}}_2[x]$ jest moniczny, więc są one postaci $x^2+bx+c,$ gdzie $b$ i $c$ mogą przybierać wartości 0 lub 1. Są więc 4 takie wielomiany.

$f_1=x^2,f_2=x^2+1,f_3=x^2+x,f_4=x^2+x+1.$

${\mathrm{\Delta }}_2(a,b,c)=b^2=b.$ Ostatnia równość wynika stąd, że $b^2=b$ dla każdego $b\in {\mathrm{F}}_2.$

Zatem $D(f_1)=D(f_2)=0$ i $D(f_3)=D(f_4)=1.$

Istotnie, $f_1=(x-0{)}^2$ ma pierwiastek dwukrotny $0,$

$(x-1{)}^2=x^2-2x+1=x^2+1$ (bo $2=0$), więc $f_2$ ma pierwiastek dwukrotny $1.$

Natomiast $(x-0)(x-1)=x^2-x=x^2+x=f_3,$ więc $f_3$ ma dwa różne pierwiastki $0$ i $1.$

Przez bezpośrednie podstawienie przekonujemy się, że wielomian $f_4$ nie ma pierwiastków w ${\mathrm{F}}_2.$ Aby sprawdzić, że w swoim ciele rozkładu (jest nim ${\mathrm{F}}_4={\mathrm{F}}_{2^2}$) ma dwa różne pierwiastki, obliczmy pochodną ${f_4}^{\prime }=2x+1=1.$ Wielomian $f_4$ nie ma wspólnego pierwiastka ze swą pochodną (bo ona w ogóle nie ma pierwiastków), więc nie ma pierwiastka dwukrotnego w ${\mathrm{F}}_4.$

Ten przykład jest ilustracją uniwersalności wyróżnika. Metody stosowane w przypadku charakterystyki 2 mają własną specyfikę i różnią się znacznie od metod dla innych charakterystyk, ale wyróżnik jest na to niewrażliwy i daje zawsze właściwe wyniki niezależnie od charakterystyki ciała.

Następny przykład dotyczy ciała ${\mathrm{F}}_9,$ więc przydatne mogą być najbardziej podstawowe wiadomości o tym ciele przedstawione poniżejSzablon:Odn. Są one wystarczające, by snadnie wykonywać rachunki arytmetyczne w ${\mathrm{F}}_9.$ Ciało ${\mathrm{F}}_9$ zawiera ciało proste ${\mathrm{F}}_3=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ i jest jego rozszerzeniem 2 stopnia. Może być otrzymane przez dołączenie pierwiastka monicznego wielomianu nierozkładalnego 2 stopnia z ${\mathrm{F}}_3[x].$ Wybierzmy wielomian $x^2+1$ (nierozkładalny, bo nie ma pierwiastka w ${\mathrm{F}}_3$). Jego pierwiastek $\alpha$ spełnia więc równanie ${\alpha }^2=-1.$ Nazwijmy go raczej $i$ – przecież dołączyliśmy pierwiastek z $-1.$ Każdy element ciała ${\mathrm{F}}_9={\mathrm{F}}_3(i),$ jako przestrzeni liniowej nad ${\mathrm{F}}_3$ wymiaru 2 z bazą $\{1,i\},$ ma jednoznaczne przedstawienie w postaci $a+bi,$ gdzie $a,b\in {\mathrm{F}}_3.$ Te elementy dodajemy i mnożymy w zwykły sposób, z tym tylko, że $i^2$ zastępujemy wszędzie przez $-1.$ Jest to bardzo podobne do działań na liczbach zespolonych, z tą różnicą, że działania arytmetyczne na współczynnikach $a$ i $b$ odbywają się według zasad obowiązujących w małym ciele ${\mathrm{F}}_3.$ Jego elementami są $0,1$ i $2,$ ale wygodnie jest stosować w zapisie $0,1$ i $-1,$ bo $2=-1.$

Znajdźmy dla przykładu element odwrotny do $1+i.$

$\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i}{1-i^2}=\frac{1-i}{2}=\frac{1-i}{-1}=-1(1-i)=-1+i.$

Przykład 3

Sprawdźmy, czy wielomian $i{x}^2+ix+1+i\in {\mathrm{F}}_9[x]$ ma pierwiastki w ${\mathrm{F}}_9$ i jeśli tak, to obliczmy je.

W grupie multyplikatywnej ${\mathrm{F}}_9^{*}$ są 4 kwadraty, więc wypiszmy je, podnosząc do kwadratu elementy każdej z 4 par elementów wzajemnie przeciwnych

$1^2=(-1{)}^2=1$

$i^2=(-i{)}^2=-1$

$(1+i{)}^2=(-1-i{)}^2=1+2i-1=2i=-i$

$(1-i{)}^2=(-1+i{)}^2=1-2i-1=-2i=i.$

Zatem kwadratami są prawe strony tych równości: $1,-1,i,-i,$ a w całym ${\mathrm{F}}_9$ jeszcze $0.$

To umożliwia już zastosowanie wzorów na pierwiastki.

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\Delta }}_2(a,b,c)=b^2-4ac=b^2-ac,$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{-a}=-\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{a}=\frac{b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{a}.$

Otrzymane wzory na wyróżnik i pierwiastki

$\mathrm{\Delta }=b^2-ac,x_{1,2}=\frac{b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{a}$

stosują się w każdym ciele o charakterystyce 3 (także nieskończonym).

Dla danego wielomianu mamy $\mathrm{\Delta }=i^2-i(1+i)=-1-i+1=-i,$ skąd wnioskujemy, że ma on pierwiastki w ${\mathrm{F}}_9,$ bo $-i$ jest kwadratem. Jako pierwiastek arytmetyczny z wyróżnika weźmy dowolny z pary, np. $1+i.$

$x_1=\frac{i+1+i}{i}=\frac{1+2i}{i}=-i(1-i)=-1-i,x_2=\frac{i-1-i}{i}=\frac{-1}{i}=i$

i otrzymujemy rozkład wielomianu: $i(x-i)(x+1+i).$

Ten przykład przedstawia jedno z zastosowań wyróżnika. Droga do rozwiązania równania kwadratowego wiedzie poprzez obliczenie odpowiedniego wyróżnika i znalezienie jego pierwiastka arytmetycznego.

Przykład 4

Wypiszmy dla wygody rachunków wzór na wyróżnik trójmianu $D(a{x}^n+b{x}^m+c)=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}^{(n-m-1)}{c}^{(m-1)}{(n^{n_1}{a}^{m_1}{c}^{n_1-m_1}+s{m}^{m_1}{b}^{n_1})}^d,$
gdzie $d=(n,m),n=n_{1}d,m=m_{1}d,s=(-1{)}^{n_1+1}(n-m{)}^{n_1-m_1},$ i obliczmy wyróżnik trójmianu $a{x}^6+b{x}^3+c.$

Mamy tutaj $n=6,m=3,d=(6,3)=3,n_1=2,m_1=1,s=-(6-3{)}^{2-1}=-3,$ więc

$\begin{array}{cc}& D(a{x}^6+b{x}^3+c)=-a^2{c}^2(6^{2}ac-3\cdot 3^1{b}^2{)}^3=-a^2{c}^2(6^{2}ac-3^2{b}^2{)}^3=-3^6{a}^2{c}^2(4ac-b^2{)}^3\\ & =-729a^2{c}^2(64a^3{c}^3-48a^2{b}^2{c}^2+12a{b}^{4}c-b^6)\\ & =-46656a^5{c}^5+34992a^4{b}^2{c}^4-8748a^3{b}^4{c}^3+729a^2{b}^6{c}^2.\end{array}$

Możemy też skorzystać z pełnego wyróżnika w tabeli z wyróżnikiem wielomianu 6 stopnia. Dostosujmy oznaczenia współczynników danego wielomianu do oznaczeń w tabeli (nie odwrotnie!). $D(a{x}^6+d{x}^3+g)={\mathrm{\Delta }}_6(a,0,0,d,0,0,g).$

Po odrzuceniu składników, w których występuje współczynnik $b,c,e$ lub $f,$ pozostają tylko 4 składniki o numerach porządkowych 1, 5, 37 i 107, a wynik jest identyczny.

Zobacz też

• równanie kwadratowe
• równanie trzeciego stopnia
• równanie czwartego stopnia

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Otwarty dostęp Przemysław Koprowski, Wyróżnik, kanał autorski na YouTube, 12 maja 2021 [dostęp 2024-06-22].
• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Discriminant Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].