Rugownik

Rugownik – typ funkcji, której argumentami są pary wielomianów lub – z innej perspektywy – ich współczynniki, co czyni rugownik funkcją wielu zmiennych; jest zdefiniowany wyznacznikiem opisanym niżej. Kluczową własnością rugownika jest to, że wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.

Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym $K:$

$F(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\dots +a_n,$

$G(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+b_2{x}^{m-2}+\dots +b_m.$

Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia $n+m$ postaci:

$\mathrm{R}(F,G)=\left|\begin{array}{ccccccccc}{a}_0& a_1& a_2& \dots & a_n& 0& 0& \dots & 0\\ 0& a_0& a_1& \dots & a_{n-1}& a_n& 0& \dots & 0\\ 0& 0& a_0& \dots & a_{n-2}& a_{n-1}& a_n& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & a_0& a_1& a_2& \dots & a_n\\ b_0& b_1& b_2& \dots & b_m& 0& 0& \dots & 0\\ 0& b_0& b_1& \dots & b_{m-1}& b_m& 0& \dots & 0\\ 0& 0& b_0& \dots & b_{m-2}& b_{m-1}& b_m& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & b_0& b_1& b_2& \dots & b_m\end{array}\right|.$

Przyjmuje się dodatkowo, że $\mathrm{R}(0,G)=\mathrm{R}(F,0)=0.$

Własności

Dla dowolnych wielomianów $F,G,H$ zachodzi:

• $\mathrm{R}(F,G)=(-1{)}^{\mathrm{deg}F\cdot \mathrm{deg}G}\cdot \mathrm{R}(G,F),$
• $\mathrm{R}(F\cdot H,G)=\mathrm{R}(F,G)\cdot \mathrm{R}(H,G),$
• $\mathrm{R}(F,G)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $F$ i $G$ mają wspólny pierwiastek.

• Istnieją takie wielomiany $v,w,$ że $v\cdot F+w\cdot G=\mathrm{R}(F,G).$

Niech $F,G$ będą postaci

$F(t)=(t-x_1)(t-x_2)\dots (t-x_s),$

$G(t)=(t-y_1)(t-y_2)\dots (t-y_r).$

Wtedy $\mathrm{R}(F,G)=\prod _{i=1}^s\prod _{j=1}^r(x_i-y_j)$.

Zastosowanie

Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi

Rozpatrzmy układ równań wielomianowych $f(x,y)=0,g(x,y)=0;$ $f,g$ – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg $y$ uzyskujemy:

$f_0(x)y^s+f_1(x)y^{s-1}+f_2(x)y^{s-2}+\dots +f_s(x),$

$g_0(x)y^t+g_1(x)y^{t-1}+g_2(x)y^{t-2}+\dots +g_t(x),$

gdzie $f_0,g_0$ są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:

$\mathrm{R}(x)=\left|\begin{array}{ccccccccc}{f}_0(x)& f_1(x)& f_2(x)& \dots & f_s(x)& 0& 0& \dots & 0\\ 0& f_0(x)& f_1(x)& \dots & f_{s-1}(x)& f_s(x)& 0& \dots & 0\\ 0& 0& f_0(x)& \dots & f_{s-2}(x)& f_{s-1}(x)& f_s(x)& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & f_0(x)& f_1(x)& f_2(x)& \dots & f_s(x)\\ g_0(x)& g_1(x)& g_2(x)& \dots & g_t(x)& 0& 0& \dots & 0\\ 0& g_0(x)& g_1(x)& \dots & g_{t-1}(x)& g_t(x)& 0& \dots & 0\\ 0& 0& g_0(x)& \dots & g_{t-2}(x)& g_{t-1}(x)& g_t(x)& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & g_0(x)& g_1(x)& g_2(x)& \dots & g_t(x)\end{array}\right|.$

Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg $x,$ tworzy się rugownik $\mathrm{S}(y).$ Można udowdnić, że gdy para $(a,b)$ jest rozwiązaniem układu równań $f(x,y)=0,g(x,y)=0,$ zachodzi $\mathrm{R}(a)=0$ oraz $\mathrm{S}(b)=0.$

Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli $R,S$ są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości $a_1,\dots ,a_k$ odciętej i $b_1,\dots ,b_l$ rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par $(a_i,b_j)$ są rozwiązaniami układu równań.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Przemysław Koprowski, Rugownik – twierdzenie Sylvestera, kanał autorski na YouTube, 21 kwietnia 2021 [dostęp 2024-06-22].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-04-26].
• Szablon:Otwarty dostęp Resultant Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].