Prawo Hooke’a

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężeniaSzablon:R. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siłySzablon:Odn. Stosunek naprężenia wywołanego przyłożeniem siły do powstałego odkształcenia, jest nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Omawiana zależność pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nieprzekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności) i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej plastyczności i lepkości.

Ta prawidłowość została sformułowana przez Roberta Hooke’a w 1660 r. w formie ut tensio sic vis (łac. jakie wydłużenie, taka siła) i przekazana w postaci anagramu ceiiinosssttuv.

Osiowy stan naprężenia i odkształcenia

Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń dla stali zwykłej z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke’a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne prętaSzablon:R. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnik proporcjonalności to moduł Younga E

$\frac{F}{S}=E\frac{\mathrm{\Delta }l}{l},\mathrm{\Delta }l=\frac{lF}{SE},$

gdzie:

$F$ – siła rozciągająca,

$S$ – pole przekroju poprzecznego,

$E$ – moduł Younga,

$\mathrm{\Delta }l$ – wydłużenie pręta,

$l$ – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

$\sigma =E\epsilon$

gdzie:

$\epsilon =\frac{\mathrm{\Delta }l}{l}$ – odkształcenie,

$\sigma =\frac{F}{S}$ – naprężenie.

Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształcenia

Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego stanu naprężenia w przypadku materiału izotropowego uogólnił w 1822 Augustin Louis CauchySzablon:Odn, poniżej podano uogólnioną postać prawa Hooke'a, jest ono tu zapisane w postaci układu równań:

dla naprężeń i odkształceń normalnych (liniowych)

${\epsilon }_x=\frac{1}{E}[{\sigma }_x-\nu ({\sigma }_y+{\sigma }_z)],$

${\epsilon }_y=\frac{1}{E}[{\sigma }_y-\nu ({\sigma }_z+{\sigma }_x)],$

${\epsilon }_z=\frac{1}{E}[{\sigma }_z-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)],$

dla naprężeń stycznych i odkształceń postaciowych (kątowych)

${\gamma }_{xy}=\frac{{\tau }_{xy}}{G},$

${\gamma }_{xz}=\frac{{\tau }_{xz}}{G},$

${\gamma }_{yz}=\frac{{\tau }_{yz}}{G},$

gdzie:

${\epsilon }_x,{\epsilon }_y,$ ${\epsilon }_z$ – składowe odkształcenia normalnego w punkcie,

${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$ – naprężenie normalne w punkcie,

${\gamma }_{xy},{\gamma }_{yz},{\gamma }_{xz}$ – składowe odkształcenia postaciowego w punkcie,

${\tau }_{xy},{\tau }_{yz},{\tau }_{xz}$ – naprężenie styczne w punkcie,

$G$ – współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,

$E$ – moduł Younga,

$\nu$ – współczynnik Poissona.

Zapis tensorowy

W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako operator proporcjonalności stosuje się tensor sztywności $C$

${\sigma }^{ij}=C^{ijkl}{\epsilon }_{kl}$

lub tensor podatności $D$

${\epsilon }_{kl}=D_{klij}{\sigma }^{ij},$

gdzie sumowanie odbywa się wg konwencji sumacyjnej Einsteina.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę