Tensor sztywności

Tensor sztywności (c^ijkl) to tensor określający liniową zależność pomiędzy odkszałceniem a naprężeniem. Zależność ta nazywana jest uogólnionym prawem Hooke’a. Tensor sztywności może opisywać dowolny liniowy materiał, także anizotropowy. Wykazuje częściowe symetrie:

$c^{ijkl}=c^{jikl},c^{ijkl}=c^{ijlk},c^{ijkl}=c^{klij}.$

Z tego względu dla ogólnego przypadku trójwymiarowego zawiera jedynie 21 istotnych składowych (zamiast spodziewanych 81). Dla uproszczonego przypadku materiału ortotropowego – 9 składowych, natomiast dla najbardziej powszechnego przypadku materiału izotropowego – 2 różne składowe. W takim przypadku tensor sztywności dla prawa Hooke’a można zapisać przy pomocy stałych Lamé'go jako:

$c^{ijkl}=\lambda g^{ij}{g}^{kl}+2\mu \cdot {\delta }_i^k{\delta }_j^l$

gdzie: λ i μ – stałe Lamégo, g – tensor metryczny, δ – delta Kroneckera (inaczej macierz jednostkowa)

Dla materiału nieliniowego tensor sztywności nie jest stały, a zależy od odkształcenia. W takim przypadku jego składowe odzwierciedlają chwilową sprężystość materiału, która po zmianie stanu odkształcenia, także może ulec zmianie. Tensor sztywności (c) wiąże z tensorem podatności (b) następująca zależność:

$c^{ijkl}{b}_{mnpq}={\delta }_m^i{\delta }_n^j{\delta }_p^k{\delta }_q^l$

Zobacz też

• sztywność