Liczba Poissona

Przybliżone wartości współczynnika Poissona dla różnych materiałów

Materiał	Współczynnik Poissona
Guma	~0,50
Magnez	0,35
Tytan	0,34
Miedź	0,33
Aluminium	0,33
Glina	0,30–0,45
Stal nierdzewna	0,30–0,31
Stal	0,27–0,30
Żeliwo	0,21–0,26
Piasek	0,20–0,45
Beton	0,20
Szkło	0,18–0,3
Korek	~0,00

Sześcian o krawędziach długości $L$ wykonany z izotropowego liniowo sprężystego materiału, o współczynniku Poissona równym 0,5, poddany obciążeniu w kierunku $x.$ Zielona kostka pokazuje stan początkowy, czerwona rozciągnięta pod wpływem przyrostu obciążenia na kierunku $x$-owym o długość $\mathrm{\Delta }L$ oraz równocześnie skrócona na kierunku $y$ i $z$ o długość $\mathrm{\Delta }{L}^{\prime }.$

Współczynnik (liczba) Poissona $(\nu )$ – stosunek odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego przy jednoosiowym stanie naprężenia.

Jednoosiowy stan naprężenia to stan reprezentowany tylko przez jedno niezerowe naprężenie główne.

Współczynnik Poissona jest wyrażony bezjednostkowo - znaczy to, że jest wielkością bezwymiarową, nie określa sprężystości materiału, a jedynie sposób, w jaki się on odkształca.

Jeżeli w przypadku materiału izotropowego w rozpatrywanym punkcie ciała wyróżnimy kierunek $m$ i jeżeli w tym punkcie jedynie naprężenie ${\sigma }_m\ne 0$ (zaś pozostałe składowe naprężenia są równe zero), to współczynnik Poissona:

$\nu =-\frac{{\epsilon }_n}{{\epsilon }_m},$

gdzie:

$\epsilon$ – odkształcenie,

$n$ – dowolny kierunek prostopadły do $m.$

Jeżeli pręt o średnicy $d$ (lub dowolnym innym stałym przekroju) i długości $L$ zostanie poddany jednoosiowemu rozciąganiu tak, że wydłuży się o $\mathrm{\Delta }L,$ to jego średnica zmieni się (zmniejszy się, stąd dla uniknięcia wartości ujemnych współczynnika znak minus we wzorze) o:

$\mathrm{\Delta }d=-d\cdot \nu \frac{\mathrm{\Delta }L}{L},$

$\nu =-\frac{\mathrm{\Delta }d}{d}\frac{L}{\mathrm{\Delta }L}.$

Wzór ten jest słuszny w przypadku małych odkształceń. Jeżeli odkształcenia są znaczne (patrz: duże odkształcenia), to dokładniejsze wyniki daje wzór (w założeniu $\nu =\text{const}$):

$\mathrm{\Delta }d=-d\cdot (1-{(1+\frac{\mathrm{\Delta }L}{L})}^{-\nu }).$

Powyższe wzory są jednym ze sposobów bezpośredniego wyznaczenia współczynnika Poissona w statycznej próbie rozciągania, chociaż ze względu na niewielkie odkształcenia jest to metoda niedokładna.

Ze względu na zależność opisującą stosunek współczynnika Poissona do modułu Younga i modułu Helmholtza można określić, że:

$-1⩽\nu ⩽\frac{1}{2}.$

W przypadku dwuwymiarowej sprężystości relacja ta przybiera postać:

$-1⩽\nu ⩽0,5.$

Nazwa współczynnika pochodzi od nazwiska Siméon Denis Poissona (1781–1840), francuskiego matematyka.

Metodę określania współczynnika Poissona przedstawia norma ASTM E-132.

Współczynnik Poissona można również wyznaczyć, przekształcając równianie wiążące ten współczynnik z modułem Younga

$E=2G\cdot (\nu +1),$

gdzie:

$E$ – moduł Younga,

$G$ – moduł Kirchhoffa,

$\nu$ – Liczba Poissona.

Po przekształceniach uzyskujemy równanie:

$\nu =\frac{E-2G}{2G}.$

Rozciąganie kostki z materiału o ujemnym współczynniku Poissona. Przykład auksetyku.

Zobacz też

• auksetyk
• moduł Kirchhoffa
• prawo Hooke’a
• stałe Lamégo