Liczby trójkątne

Sześć pierwszych liczb trójkątnych (bez $T_0$)

Liczba trójkątna $T_n$ – liczba obiektów, które – ustawione w regularnej trójkątnej siatce – mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi n obiektów. Początkowymi liczbami trójkątnymi (włączając „zerową” liczbę trójkątną $T_0=0,$ odpowiadającą „trójkątowi pustemu”) są:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

Szablon:OEIS.

Każda liczba trójkątna jest sumą kolejnych, początkowych liczb naturalnych:

$T_n=1+2+3+\dots +n.$

Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu arytmetycznego:

$T_n=\frac{n(n+1)}{2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}),$

gdzie $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})$ jest symbolem Newtona:

Liczba $T_n$ jest liczbą różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru $(n+1)$-elementowego, zatem $n$-ta liczba trójkątna jest rozwiązaniem zagadnienia przywitań dla $n+1$ osób.

Łatwo można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna: trzeba w tym celu skorzystać z faktu, że $n$ jest liczbą trójkątną wtedy i tylko wtedy, gdy $8n+1$ jest liczbą kwadratowąSzablon:Odn.

Własności arytmetyczne

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych:

różnica: $T_{n+1}-T_n=n+1,$

suma: $T_{n+1}+T_n={(n+1)}^2.$

Uogólnienia

Liczby trójkątne należą do rodziny liczb figurowychSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld