Funkcja całkowita

Funkcja całkowita – funkcja zmiennej zespolonej, która jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej. Oznacza to, że funkcję tę można rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całej płaszczyźnie:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n,$ gdzie $z,a_n\in ℂ.$

Przykłady

Wielomiany

Szablon:Zobacz też Każdy wielomian jest całkowity i ma skończone rozwinięcie w szereg Taylora, co więcej on sam jest swoim rozwinięciem. Na przykład:

$f(z)=4z^5+7z^2+z+2=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$

gdzie ciąg $(a_n)$ jest postaci

$(a_n)=(2,1,7,0,0,4,0,0,0,0,\dots )$

Funkcja eksponencjalna

Szablon:Zobacz też Funkcja $\exp (z)$ jest funkcją całkowitą zdefiniowaną jako

$\exp (z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!},$

gdzie $n!$ oznacza silnię.

Sinus i cosinus

Szablon:Zobacz też Funkcje $\sin (z)$ i $\cos (z)$ są całkowite. Ich rozwinięcia w szereg Taylora są następujące:

$\cos (z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{z}^{2n},$

$\sin (z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}.$

Własności

Z definicji funkcji całkowitej wynika, iż każda funkcja całkowita jest ciągła i nieskończenie wiele razy różniczkowalna, a więc również holomorficzna.

Zobacz też

• twierdzenie Liouville’a