Funkcje hiperboliczne odwrotne

Wykresy polowych funkcji sinus, cosinus i tangens w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wykresy polowych funkcji cotangens, secans i cosecans w kartezjańskim układzie współrzędnych

Funkcje hiperboliczne odwrotne, funkcje polowe, funkcje areaSzablon:Odn, areafunkcjeSzablon:Odn – funkcje odwrotne do hiperbolicznych, definiowane też poniższymi wzorami:

Nazwa	Symbole	Wzory	Funkcja odwrotna i przypis
area sinus hiperboliczny	$\mathrm{arsinh}x$	$\ln (x+\sqrt{x^2+1})$	sinus hiperboliczny
area cosinus hiperboliczny	$\mathrm{arcosh}x$	$\begin{array}{cc}& \ln (x+\sqrt{x^2-1})=\\ & \ln (x+\sqrt{x-1}\sqrt{x+1})\end{array}$	cosinus hiperboliczny
area tangens hiperboliczny	$\mathrm{artgh}x$	$\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$	tangens hiperboliczny
area cotangens hiperboliczny	$\mathrm{arctgh}x$	$\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}$	cotangens hiperboliczny
area secans hiperboliczny	$\mathrm{arsech}x$	$\begin{array}{cc}& \ln (\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}+\frac{1}{x})=\\ & \ln (\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}+\frac{1}{x})\end{array}$	secans hiperboliczny
area cosecans hiperboliczny	$\mathrm{arcsch}x$	$\ln (\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x})$	cosecans hiperboliczny

Funkcje polowe czerpią nazwę stąd, że można nimi obliczać pola odpowiednich wycinków hiperboli jednostkowej $x^2-y^2=1$Szablon:Odn. Analogicznie funkcje kołowe (cyklometryczne, odwrotne do trygonometrycznych) są równe polom wycinków koła jednostkowego $x^2+y^2=1.$ Funkcje polowe znajdują też zastosowanie poza geometrią i matematyką czystą, np. w fizyce i elektrotechnice; przykładowo cosinus polowy pojawia się w jednym ze wzorów na pojemność elektrycznąSzablon:Odn.

Opis poszczególnych funkcji polowych

Area sinus

Area sinus hiperboliczny

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $ℝ.$ Funkcja ta:

• jest nieparzysta;
• w punkcie $x=0$ ma punkt przegięcia;
• jest rosnąca na całej dziedzinie;
• nie ma asymptot.

Area cosinus

Area cosinus hiperboliczny, górna gałąź krzywej

Cosinus hiperboliczny jako funkcja parzysta nie jest odwracalny w sensie złożenia. Przez to rozróżnia się dwie gałęzie area cosinusa:

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcosh}x& =\pm \ln (x+\sqrt{x^2-1}),\\ {\mathrm{arcosh}}_{1}x& =\ln (x+\sqrt{x^2-1}),\\ {\mathrm{arcosh}}_{2}x& =-\ln (x+\sqrt{x^2-1}).\end{array}$

Jeśli są traktowane jako funkcje rzeczywiste, to ich dziedziną jest przedział $[1,\mathrm{\infty }).$ Funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera.

Area tangens

Area tangens hiperboliczny

Dziedziną tej funkcji jest przedział otwarty $(-1,1).$ Funkcja ta:

• jest nieparzysta;
• jest rosnąca;
• ma dwie asymptoty i obie są pionowe: $x=-1,x=1.$

Area cotangens

Area cotangens hiperboliczny

Dziedziną tej funkcji jest suma dwóch przedziałów otwartych: $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty }).$ Funkcja ta:

• nie ma ekstremów;
• nie ma przegięć;
• ma 3 asymptoty: $y=0,x=-1,x=1.$

Area secans

Area secans hiperboliczny

Dziedziną tej funkcji jest przedział $(0,1].$ Funkcja ma asymptotę o równaniu $x=0.$

Area cosecans

Area cosecans hiperboliczny

Dziedziną tej funkcji jest $ℝ\setminus \{0\}.$ Funkcja ma dwie asymptoty: $x=0$ i $y=0.$

Pochodne

Funkcja polowa $f(x)$	Funkcja pochodna $f^{\prime }(x)$	Przypisy
$\mathrm{arsinh}x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=(1+x^2{)}^{-1/2}$	Szablon:Odn
${\mathrm{arcosh}}_{1}x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=(x^2-1{)}^{-1/2}$	Szablon:Odn
${\mathrm{arcosh}}_{2}x$	$\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}=-(x^2-1{)}^{-1/2}$
$\mathrm{artgh}x$	$\frac{1}{1-x^2}=(1-x^2{)}^{-1}$	Szablon:Odn
$\mathrm{arctgh}x$	$\frac{1}{1-x^2}=(1-x^2{)}^{-1}$	Szablon:Odn
$\mathrm{arsech}x$	$\frac{-1}{x(x+1)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}$
$\mathrm{arcsch}x$	$\frac{-1}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$

Związki z innymi funkcjami

Całki funkcji algebraicznych

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}& =\mathrm{arsinh}x+C=\\ & =\ln (x+\sqrt{x^2+1})+C\\ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}& =\mathrm{arcosh}x+C=\\ & =\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C\\ \int \sqrt{x^2+1}dx& =\frac{1}{2}(\mathrm{arsinh}x+x\sqrt{x^2+1})+C=\\ & =\frac{1}{2}(\ln (x+\sqrt{x^2+1})+x\sqrt{x^2+1})+C\\ \int \sqrt{x^2-1}dx& =\frac{1}{2}(-\mathrm{arcosh}x+x\sqrt{x^2-1})+C=\\ & =\frac{1}{2}(-\ln (x+\sqrt{x^2-1})+x\sqrt{x^2-1})+C\\ \int \frac{dx}{1-x^2}& =\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C=\\ & =\{\begin{array}{ccc}\mathrm{artgh}x+C& \text{dla}& |x|<1\\ \mathrm{arctgh}x+C& \text{dla}& |x|>1\end{array}\end{array}$

Funkcje kołowe

Wzór Eulera pozwala powiązać funkcje polowe z kołowymi (cyklometrycznymi) za pomocą jednostki urojonej $i$Szablon:Odn:

$\begin{array}{cc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}x& =-i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(ix)\\ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}x& =i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x\\ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}x& =-i\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(ix)\end{array}$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę