Rozkład jedności

Rozkład jedności – pojęcie używane w matematyce m.in. w topologii, analizie oraz geometrii różniczkowej.

Definicja

Rodzinę $\{f_s{\}}_{s\in S}$ funkcji ciągłych $f_s:X\to [0,1]$ określonych na przestrzeni topologicznej $X$ nazywamy rozkładem jedności, o ile dla każdego $x\in X$ zachodzi $\sum _{s\in S}{f}_s(x)=1.$ Z warunku tego wynika w szczegolności, że przy ustalonym $x\in X$ zbiór $\{s\in S:f_s(x)\ne 0\}$ jest przeliczalny.

Rodzaje rozkładów jedności

• Jeżeli pokrycie $\{f_s^{-1}((0,1]){\}}_{s\in S}$ przestrzeni $X$ jest lokalnie skończone, to mówimy, że taki rozkład jedności jest lokalnie skończony.
• Jeżeli pokrycie $\{f_s^{-1}((0,1]){\}}_{s\in S}$ jest wpisane w pokrycie $𝒰$ przestrzeni $X,$ to mówimy, że rozkład jedności $\{f_s{\}}_{s\in S}$ jest drobniejszy od pokrycia $𝒰$.

Zastosowania

• Ważnym w topologii zastosowaniem rozkładów jedności jest charakteryzacja przestrzeni parazwartych. Dokładniej, dla $T_1$-przestrzeni $X$ następujące warunki są równoważne:

a) Przestrzeń $X$ jest parazwarta.

b) Dla każdego pokrycia otwartego przestrzeni $X$ istnieje drobniejszy od niego lokalnie skończony rozkład jedności.

c) Dla każdego pokrycia otwartego przestrzeni $X$ istnieje drobniejszy od niego rozkład jedności.