Rozmaitość różniczkowa zanurzona w przestrzeni euklidesowej

Rozmaitość różniczkowa (w ${ℝ}^n$), czasem: rozmaitość różniczkowa zanurzona w ${ℝ}^n$ – podzbiór ${ℝ}^n,$ który lokalnie, tzn. w otoczeniu każdego punktu, wygląda jak ${ℝ}^k$ (mówiąc ściślej: jak zbiór otwarty w ${ℝ}^k$) dla pewnego $k⩽n,$ ponadto nie ma „kantów”. Liczba $k$ jest taka sama dla każdego punktu rozmaitości i nazywa się ją wymiarem rozmaitości różniczkowej. Rozmaitości różniczkowe (zanurzone w ${ℝ}^n$) stanowią uogólnienie zbiorów otwartych, krzywych i powierzchni w ${ℝ}^n.$ Pojawiają się w sposób naturalny w wielu zagadnieniach matematyki czystej. Np. metoda mnożników Lagrange’a matematycznie sprowadza się do szukania ekstremum pewnej funkcji zdefiniowanej na rozmaitości różniczkowej.

Dla funkcji pomiędzy rozmaitościami możliwe jest zdefiniowanie różniczkowalności i pochodnej. Dzięki temu możliwe jest uprawianie rachunku różniczkowego na rozmaitościach. Poprzez wprowadzeniu tzw. form różniczkowych możliwe jest także uprawianie rachunku całkowego na rozmaitościach.

Rozmaitości różniczkowe zanurzone w ${ℝ}^n$ są wystarczające na potrzeby wielu zagadnień matematyki, nie są jednak wystarczające na potrzeby nowoczesnej fizyki. Z tego powodu wprowadza się ogólne, abstrakcyjne rozmaitości różniczkowe, które niekoniecznie muszą być podzbiorami ${ℝ}^n$ i mogą mieć znacznie bardziej złożoną naturę.

Definicja

Podzbiór $M\subset {ℝ}^n$ nazywa się $k$-wymiarową rozmaitością różniczkową (w ${ℝ}^n$), jeżeli dla każdego $p\in M$ istnieje zbiór otwarty $V\subset {ℝ}^n$ zawierający $p,$ zbiór otwarty $W\subset {ℝ}^k$ oraz funkcja różnowartościowa i klasy $C^{\mathrm{\infty }}$ $g:W\to {ℝ}^n$ taka, że

(1) $g(W)=V\cap M.$

(2) Pochodna $dg(x)$ ma rząd $k$ dla każdego $x\in W.$

(3) Funkcja $g^{-1}:g(W)\to {ℝ}^k$ jest ciągła.

Współrzędne, mapy i atlasy

Funkcję $g$ z definicji rozmaitości różniczkowej nazywa się parametryzacją w otoczeniu punktu $p.$ Funkcję do niej odwrotną $f:=g^{-1}$ nazywa się układem współrzędnych w otoczeniu punktu $p$. Parę $(V\cap M,f)$ nazywa się mapą w otoczeniu punktu $p\in V\cap M.$ Zbiór $V\cap M$ nazywa się dziedziną mapy $(V\cap M,f).$ Mapy oznacza się zwykle $(U,\phi ),(V,\psi )$ itd.

Na $k$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej funkcje $x^i:={\pi }^i\circ \phi :U\to ℝ,i=1,\dots ,k,$ gdzie ${\pi }^i:{ℝ}^k\to ℝ$ oznacza rzutowanie na $i$-tą współrzędną względem bazy standardowej ${ℝ}^k,$ tzn. funkcję daną wzorem

${\pi }^i(x_1,\dots ,x_k):=x_i,$

nazywa się współrzędnymi wyznaczonymi przez mapę $(U,\phi ).$

Zbiór map $\{(U_i,{\phi }_i){\}}_{i\in I},$ których dziedziny pokrywają całe $M,$ nazywa się atlasem.

Mając dwie mapy $(U_1,{\phi }_1),(U_2,{\phi }_2),U_1\cap U_2\ne \mathrm{\varnothing },$ można jedne współrzędne przeliczać na drugie za pomocą odwzorowań zamiany współrzędnych ${\phi }_2\circ {\phi }_1^{-1}:{\phi }_1(U_1\cap U_2)\to {\phi }_2(U_1\cap U_2)$ i ${\phi }_1\circ {\phi }_2^{-1}:{\phi }_2(U_1\cap U_2)\to {\phi }_1(U_1\cap U_2).$

Przestrzeń styczna do rozmaitości

Definicja

Szablon:Zobacz też Przestrzenią styczną do $k$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej $M$ w ${ℝ}^n$ w punkcie $p\in M$ nazywa się obraz ${ℝ}^k$ przez pochodną parametryzacji $T_{p}M:=d{\phi }^{-1}(a)({ℝ}^k),$ gdzie ${\phi }^{-1}(a)=p.$ Ponieważ pochodna $d{\phi }^{-1}(a)$ ma rząd $k,$ to przestrzeń styczna $T_{p}M$ jest $k$-wymiarową podprzestrzenią liniową ${ℝ}^n.$

Baza naturalna dla mapy

Mapa $(U,\phi )$ w otoczeniu punktu $p\in M$ na $k$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej indukuje bazę przestrzeni stycznej $T_{p}M$ daną wzorami

${\partial }_i:=d{\phi }^{-1}(a)(e_i),i=1,\dots ,k,$

gdzie $a=\phi (p),$ a $(e_i{)}_{i=1}^k$ oznacza bazę standardową ${ℝ}^k.$ Nazywa się ją bazą naturalną dla mapy $(U,\phi ).$ Wektory tej bazy oznacza się także $\frac{\partial }{\partial {\phi }_i},$ $\frac{\partial }{\partial x_i}$ lub podobnie.

Odwzorowanie styczne

Szablon:Zobacz też Przestrzeń styczna do rozmaitości pozwala uogólnić pojęcie pochodnej funkcji $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami. Niech $M_1\subset {ℝ}^{n_1},M_2\subset {ℝ}^{n_2}$ będą rozmaitościami różniczkowymi. Rozpatrzmy funkcję $f:M_1\to M_2.$ Gdyby $M_1,M_2$ były zwykłymi, dowolnymi zbiorami, to niemożliwe byłoby różniczkowanie $f$ nawet pomimo że $M_1,M_2$ to podzbiory ${ℝ}^n,$ ponieważ pochodna jest zawsze zdefiniowana dla funkcji zdefiniowanej na zbiorze otwartym. Jednakże, ponieważ $M_1,M_2$ są rozmaitościami różniczkowymi i mają dodatkową strukturę, to można uogólnić pojęcie pochodnej funkcji $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ na przypadek funkcji pomiędzy $M_1$ i $M_2.$

Definicja

Niech $M_1\subset {ℝ}^{n_1},M_2\subset {ℝ}^{n_2}$ będą $k_1$ i $k_2$-wymiarowymi rozmaitościami różniczkowymi, a $(U_1,{\phi }_1),(U_2,{\phi }_2)$ – mapami na nich. Powiemy, że funkcja $f:M_1\to M_2$ jest różniczkowalna klasy $C^r$ jeżeli ${\phi }_2\circ f\circ {\phi }_1^{-1}:{\phi }_1(U_1)\to {ℝ}^{k_2}$ jest różniczkowalne klasy $C^r.$ Odwzorowaniem stycznym funkcji $f$ w punkcie $p$ nazywamy odwzorowanie $T_{p}f:T_p{M}_1\to T_{f(p)}{M}_2$ dane wzorem

$T_{p}f(v):=d{\phi }_2^{-1}({\phi }_2(f(p)))\circ d({\phi }_2\circ f\circ {\phi }_1^{-1})({\phi }_1(p))(w),$

gdzie $w\in {ℝ}^{k_1}$ jest takim wektorem, że

$d{\phi }_1^{-1}({\phi }_1(p))(w)=v.$

Uwagi

(1) Odwzorowanie styczne funkcji $f$ w punkcie $p$ nazywa się też pochodną funkcji $f$ w punkcie $p$ albo różniczką funkcji $f$ w punkcie $p$ i oznacza $Df(p),df(p)$ lub podobnie.

(2) ${\phi }_2\circ f\circ {\phi }_1^{-1}$ jest już funkcją z ${ℝ}^{k_1}$ w ${ℝ}^{k_2}$ może więc być różniczkowane w zwykły sposób.

(3) $d({\phi }_2\circ f\circ {\phi }_1^{-1})({\phi }_1(p))(w)$ jest wektorem w ${ℝ}^{k_2}.$ Przekształcenie liniowe $d{\phi }_2^{-1}({\phi }_2(f(p)))$ przenosi ten wektor w $T_{f(p)}{M}_2.$

(4) W szczególnym przypadku gdy $M_1,M_2$ są zbiorami otwartymi, to posługując się mapami $(M_1,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{M_1}),(M_2,{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{M_1})$ powracamy do zwykłej definicji pochodnej.

(5) Odwzorowanie styczne spełnia regułę łańcuchową. Jeżeli $f:M_1\to M_2$ jest różniczkowalne w punkcie $p,$ a $g:M_2\to M_3$ jest różniczkowalne w punkcie $f(p)$ to różniczkowalne jest złożenie $g\circ f$ i

$T_p(g\circ f)=T_{f(p)}g\circ T_{p}f..$

(6) Jeżeli $f:M\to ℝ$ jest różniczkowalne, to licząc odwzorowanie styczne dostajemy

$T_{p}f(v)=T_{p}f\left(\sum _{j=1}^k{v}_j{\partial }_j\right)=\sum _{i=1}^k\frac{\partial (f\circ {\phi }^{-1})}{\partial x_i}(\phi (p))v_i.$

(7) W szczególności dla współrzędnych wyznaczonych przez mapę $x^i:={\pi }^i\circ \phi$ dostajemy

$T_p{x}^i(v)=T_p{x}^i\left(\sum _{j=1}^k{v}_j{\partial }_j\right)=v_i.$

Wynika z tego, że odwzorowania styczne $T_p{x}^i$ stanowią bazę dualną do bazy naturalnej dla mapy $(U,\phi ).$ W bazie tej możemy odwzorowanie styczne funkcji $f:M\to ℝ$ zapisać

$T_{p}f=\sum _{i=1}^k\frac{\partial (f\circ {\phi }^{-1})}{\partial x_i}(\phi (p))T_p{x}^i.$

(8) Powyższy wzór zapisuje się zwykle w następującej postaci, ponieważ pozwala to nadać wielu klasycznym wzorom klasyczny wygląd

$df(p)=\sum _{i=1}^k\frac{\partial (f\circ {\phi }^{-1})}{\partial x_i}(\phi (p))d{x}^i$

(Dla uproszczenia piszemy $d{x}^i$ zamiast $d{x}^i(p)$).

Pola tensorowe na rozmaitości

Szablon:Zobacz też Pole tensorowe na rozmaitości różniczkowej $M$ to funkcja $t:M\to \bigcup _{p\in M}{T}_s^r(T_{p}M)$ taka, że $t(p)\in T_s^r(T_{p}M)$ dla każdego $p\in M,$ gdzie $T_s^r(T_{p}M)$ oznacza przestrzeń liniową tensorów typu $(r,s).$ Innymi słowy pole tensorowe to funkcja, którą punktom z rozmaitości przypisuje tensor na przestrzeni stycznej do rozmaitości w tym punkcie.

Szczególne znaczenie mają antysymetryczne kowariantne pola tensorowe, czyli formy różniczkowe, ponieważ to jedyne pola tensorowe, które można całkować.

Orientowalność i orientacja rozmaitości

Szablon:Zobacz też Mówimy, że dyfeomorfizm $\mathrm{\Phi }:U\to V$ zbiorów otwartych w ${ℝ}^n$ zachowuje orientację jeżeli

$\det [d\mathrm{\Phi }(x)]>0$

dla każdego $x\in U$ i że zmienia orientację na przeciwną jeżeli

$\det [d\mathrm{\Phi }(x)]<0$

dla każdego $x\in U.$

Powiemy, że atlas $A=\{(U_i,{\phi }_i{)}_{i\in I}\}$ jest zorientowany jeżeli dla dowolnych dwóch map $(U_1,{\phi }_i),(U_2,{\phi }_2),U_1\cap U_2\ne \mathrm{\varnothing }$ należących do atlasu $A$ odwzorowanie zamiany współrzędnych ${\phi }_2\circ {\phi }_1^{-1}:{\phi }_1(U_1\cap U_2)\to {\phi }_2(U_1\cap U_2)$ zachowuje orientację.

Rozmaitość różniczkową $M$ nazywamy orientowalną jeżeli istnieje na niej atlas zorientowany.

Mówimy, że dwa atlasy $A_1,A_2$ na $M$ są zgodnie zorientowane jeżeli ich suma $A_1\cup A_2$ jest atlasem zorientowanym. Relacja zgodnego zorientowana jest relacją równoważności w rodzinie atlasów na $M$ i w związku z tym wyznacza podział atlasów na klasy abstrakcji. Te klasy abstrakcji nazywa się orientacjami rozmaitości $M.$ Parę: rozmaitość różniczkową $M$ wraz z orientacją nazywa się rozmaitością różniczkową zorientowaną.

Rozmaitości różniczkowe z brzegiem w ${ℝ}^n$

Definicja

Jeżeli w definicji rozmaitości różniczkowej zbiór otwarty $W$ w ${ℝ}^k$ zastąpi się zbiorem otwartym $W$ w ${ℝ}_{-}^k:=\{(x_1,\dots ,x_k)\in {ℝ}^k;x_1⩽0\},$ to otrzyma się tzw. rozmaitość różniczkową z brzegiem (w ${ℝ}^n$).

Uwagi

Rozmaitości różniczkowe z brzegiem są nieznacznym uogólnieniem rozmaitości różniczkowych. Są potrzebne po to, żeby dało się sformułować Ogólne twierdzenie Stokesa.

Brzeg rozmaitości różniczkowej

Brzegiem $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej z brzegiem $M$ nazywa się zbiór tych punktów $p\in M,$ że dla pewnej parametryzacji ${\phi }^{-1}$ w otoczeniu $p$

${\phi }^{-1}(p)=(0,x_2,\dots ,x_n).$

Brzeg oznacza się $\partial M.$ W definicji brzegu wykorzystuje się pewną parametryzację, ale definicja jest niezależna od przyjętej parametryzacji. Niepusty brzeg $\partial M$ $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej z brzegiem $M$ jest rozmaitością różniczkową $(n-1)$-wymiarową.

Orientacja brzegu

Orientacja rozmaitości $M$ zadana przez atlas $\{(U_i,{\phi }_i{)}_{i\in I}\}$ indukuje orientację brzegu $\partial M$ zadaną przez atlas

$A_0:=\{(U_i\cap \partial M,{\phi }_i{|}_{U_i\cap \partial M});U_i\cap \partial M\ne \mathrm{\varnothing },i\in I\}.$

Ogólne rozmaitości różniczkowe

Szablon:Zobacz też Rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w ${ℝ}^n$ są wystarczające na potrzeby wielu działów matematyki: analizy matematycznej, teorii optymalizacji, różniczkowych równań cząstkowych, nie są jednak wystarczające na potrzeby nowoczesnej fizyki. W fizyce rozmaitość różniczkowa modeluje czasoprzestrzeń jednakże użycie rozmaitości różniczkowych (zanurzonych) w ${ℝ}^n$ dla $n>4$ rodziłoby wiele pytań:

(a) Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiarów?

(b) Jak wykryć dodatkowe wymiary?

(c) Ile wynosi $n$?

Itd. Z tego powodu rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w ${ℝ}^n$ trzeba uogólnić na potrzeby fizyki. Robi się to „wymazując” odwołanie do ${ℝ}^n$ w definicji rozmaitości różniczkowej. Rozmaitość różniczkową definiuje się jako po prostu przestrzeń Hausdorffa (niekoniecznie podzbiór ${ℝ}^n$) wraz ze zbiorem map na rozmaitości, czyli atlasem.

Takie ogólne rozmaitości mogą mieć znacznie bardziej skomplikowaną naturę. Poprzednie definicje przestrzeni stycznej i pochodnej funkcji $f:M_1\to M_2$ tracą sens. Teraz przestrzeń styczną $T_{p}M$ w punkcie $p\in M$ definiuje się jako zbiór krzywych przechodzących przez punkt $p$ tzn. funkcji postaci $\gamma :(-ϵ,ϵ)\to M$ takich, że $\gamma (0)=p,$ przy czym utożsamia się ze sobą krzywe, które po przeniesieniu do ${ℝ}^n$ za pomocą układu współrzędnych $\phi$ mają równy wektor styczny w zerze, tzn. dla których

${\frac{d}{dt}(\phi \circ {\gamma }_1)|}_{t=0}={\frac{d}{dt}(\phi \circ {\gamma }_2)|}_{t=0}.$

Mówiąc ściślej wektory styczne definiuje się jako klasy abstrakcji względem relacji równoważności $\sim$ zdefiniowanej powyższą równością. Ta relacja równoważności nie zależy od wyboru układu współrzędnych $\phi .$

Funkcja ${\mathrm{\Theta }}_{\phi }:T_{p}M\to {ℝ}^n$ dana wzorem

${\mathrm{\Theta }}_{\phi }([\gamma {]}_{\sim }):={\frac{d}{dt}(\phi \circ \gamma )|}_{t=0}$

jest bijekcją i pozwala przenieść strukturę przestrzeni liniowej z ${ℝ}^n$ do $T_{p}M$ tzn. dodawanie i mnożenie przez skalar wektorów stycznych definiuje się

$[{\gamma }_1{]}_{\sim }+[{\gamma }_2{]}_{\sim }:={\mathrm{\Theta }}_{\phi }^{-1}({\mathrm{\Theta }}_{\phi }([{\gamma }_1{]}_{\sim })+{\mathrm{\Theta }}_{\phi }([{\gamma }_2{]}_{\sim }))$

$\alpha \cdot [\gamma {]}_{\sim }:={\mathrm{\Theta }}_{\phi }^{-1}(\alpha \cdot {\mathrm{\Theta }}_{\phi }([\gamma {]}_{\sim }))$

Za pomocą ${\mathrm{\Theta }}_{\phi }$ można także zdefiniować pochodną funkcji postaci $f:M_1\to M_2$ tzn. funkcji pomiędzy rozmaitościami.

Mimo różnic idea w przypadku ogólnych rozmaitości różniczkowych pozostaje taka sama.

Przykłady

(1) Zbiór otwarty $U$ w ${ℝ}^n$ jest trywialnym przykładem $n$-wymiarowej rozmaitości różniczkowej. W jego przypadku wystarczy atlas złożony tylko z jednej mapy $(U,\mathrm{i}{\mathrm{d}}_{\mathrm{U}}),$ gdzie $\mathrm{i}{\mathrm{d}}_{\mathrm{U}}$ jest identycznością na $U,$ czyli funkcją ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_U:U\to {ℝ}^n$ daną wzorem

${\mathrm{i}\mathrm{d}}_U(x):=x.$

W szczególności ${ℝ}^n$ jest $n$-wymiarową rozmaitością różniczkową.

(2) Niech $U\subset {ℝ}^n$ będzie zbiorem otwartym. Wykres funkcji $f:U\to {ℝ}^m$ tzn. zbiór

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{f}f:=\{(x,y)\in {ℝ}^{n+m};y=f(x)\}$

jest dosyć trywialną $n$-wymiarową rozmaitością różniczkową w ${ℝ}^{n+m}$ o ile funkcja $f$ jest klasy $C^{\mathrm{\infty }}.$ W jej wypadku wystarczy atlas złożony tylko z jednej mapy $(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{f}f,\phi ),$ gdzie $\phi$ jest dane wzorem

$\phi (x,y):=x.$

(3) Najprostszą nietrywialną rozmaitością różniczkową jest okrąg jednostkowy $M:=\{(x,y)\in {ℝ}^2;x^2+y^2=1\}.$ W tym wypadku potrzebne są już co najmniej dwie parametryzacje i dwa układy współrzędnych. Pierwszą parametryzację można zdefiniować jako ${\phi }_1^{-1}:(-\pi ,\pi )\to {ℝ}^2,$

${\phi }_1^{-1}(\varphi ):=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).$

Parametr $\varphi$ jest kątem mierzonym od osi $x,$ przy czym punktom poniżej osi $x$ przypisujemy ujemny kąt. Ta parametryzacja wystarcza do sparametryzowania całego $M$ z wyjątkiem punktu $(-1,0).$ W jego okolicach potrzebna jest jakaś inna parametryzacja.

Układ współrzędnych ${\phi }_1:M\setminus \{(-1,0)\}\to ℝ$ jest dany wzorem

${\phi }_1(x,y)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)& \text{w prawej połowie okręgu,}\\ \frac{\pi }{2}& \text{gdy }(x,y)=(0,1),\\ \pi +\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)& \text{w górnej lewej ćwiartce},\\ -\frac{\pi }{2},& \text{gdy }(x,y)=(0,-1),\\ \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)-\pi & \text{w dolnej lewej ćwiartce.}\end{array}$

Powyższy układ współrzędnych nie pokrywa punktu $(-1,0).$ W jego otoczeniu trzeba wybrać inną parametryzację i układ współrzędnych. Np. ${\phi }_2^{-1}:(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\to {ℝ}^2$ dane wzorem

${\phi }_2^{-1}(\varphi ):=(-\cos \varphi ,\sin \varphi )$

oraz ${\phi }_2:\{(x,y)\in {ℝ}^2;x^2+y^2=1,x<0\}\to ℝ$ dane wzorem

${\phi }_2(x,y)=-\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right).$

(4) Niepusty przedział $(a,b)$ jako zbiór otwarty w $ℝ$ jest rozmaitością różniczkową. Można zadać pytanie czy przedział $[a,b]$ jest także rozmaitością różniczkową. Odpowiedź jest przecząca. Przedziału $[a,b]$ w okolicach punktów $a$ i $b$ nie da się sparametryzować, tzn. dla punktów $a$ i $b$ nie da się znaleźć zbiorów otwartych $V,W\subset ℝ$ i funkcji $g:W\to ℝ$ z definicji rozmaitości różniczkowej, które by ją spełniały. Jednakże przedział $[a,b]$ jest rozmaitością różniczkową z brzegiem równym $\partial M=\{a,b\}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę