Liczby dualne

Liczby dualne – wyrażenia postaci $z=a+b\epsilon ,$ gdzie $a,b\in ℝ$ oraz ${\epsilon }^2=0$ ($\epsilon$ jest nilpotentem).

Konstrukcja

Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. $ℝ\times ℝ$ z następującymi dwoma działaniami:

$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d),$

$(a,b)\otimes (c,d)=(ac,ad+bc).$

Para $(1,0)$ jest elementem neutralnym mnożenia $\otimes$ oraz $(0,1{)}^2=(0,0).$

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera. Dzielniki zera mają tutaj postać $(0,b),b\ne 0,$   bowiem

$(0,b)\otimes (0,b)=(0,0).$

Ponieważ $(1,0)$ i $(0,1)$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

$(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\epsilon$ gdzie $\epsilon =(0,1).$

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. $c+d\epsilon ,c\ne 0$ istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych – ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika:

$(c+d\epsilon {)}^{-1}=\frac{1}{c+d\epsilon }=\frac{c-d\epsilon }{(c+d\epsilon )(c-d\epsilon )}=\frac{c-d\epsilon }{c^2+cd\epsilon -cd\epsilon -d^2{\epsilon }^2}=\frac{c-d\epsilon }{c^2+0}=\frac{1}{c}-\frac{d}{c^2}\epsilon .$

Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:

$a+b\epsilon \leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right).$

w szczególności

$\epsilon \leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$

Różniczkowanie

Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych $P(x)=p_0+p_{1}x+p_2{x}^2+\dots +p_n{x}^n,$ można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że $P(a+b\epsilon )=P(a)+b{P}^{\prime }(a)\epsilon ,$ gdzie $P^{\prime }$ jest pochodną $P.$

Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych:

$f(a+b\epsilon )=f(a)+b{f}^{\prime }(a)\epsilon .$

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• liczby podwójne
• liczby zespolone

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Double and dual numbers Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

Szablon:Kontrola autorytatywna