Odwzorowanie nierozszerzające

Odwzorowanie nierozszerzające, nieoddalająceSzablon:Odn, słaba kontrakcja – odwzorowanie przestrzeni metrycznych, które nie zwiększa odległości punktów. Formalnie: niech $(X,d_X)$ oraz $(Y,d_Y)$ będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie $f:X\to Y$ nazywamy nierozszerzającym, jeśli dla dowolnych $x_1,x_2\in X$ zachodzi nierównośćSzablon:Odn:

$d_Y(f(x_1),f(x_2))⩽d_X(x_1,x_2).$

Innymi słowy, odwzorowanie nierozszerzające to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą równą 1.

Własności

Każde odwzorowanie nierozszerzające, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest jednostajnie ciągłe, a więc w szczególności ciągłe.

W przeciwieństwie do kontrakcji, odwzorowanie nierozszerzające przestrzeni metrycznej zupełnej $X$ w siebie może nie mieć punktów stałych (np. translacje w przestrzeniach Banacha) lub mieć ich wiele (np. identyczność na $ℝ$). Przy dodatkowych założeniach o $X$ można jednak wykazać istnienie punktu stałego. Przykładowo, jeśli $X$ jest niepustym, domkniętym, ograniczonym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta, to ma punkt stały (twierdzenie Browdera-Goehde’a-Kirka).

Teoria kategorii

Odwzorowania nierozszerzające są morfizmami w kategorii przestrzeni metrycznych.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Baillon, J. B. (1988). Nonexpansive mappings and hyperconvex spaces. Contemporary Mathematics, 72, 11-19.
• Borkowski, M. (2010). Przestrzenie metryczne hiperwypukłe i ich zastosowania w teorii punktu stałego. Praca magisterska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu.