Współrzędne jednorodne

Współrzędne jednorodne – sposób reprezentacji punktów $n$-wymiarowej przestrzeni rzutowej za pomocą układu $n+1$ współrzędnych. Pojęcie to opiera się na konstrukcji przestrzeni rzutowej, w której $n$-wymiarową przestrzeń euklidesową $E^n$ uzupełnia się o kierunki zwane punktami w nieskończoności lub punktami niewłaściwymi.

Jeśli punkt właściwy ma współrzędne kartezjańskie $(x_1,x_2,\dots x_n),$ to jego współrzędne jednorodne mają postać $(x_1,x_2,\dots x_n,1).$ Np. punkt na płaszczyźnie o współrzędnych kartezjańskich $(x,y)$ ma zarazem współrzędne jednorodne postaci $(x,y,1);$ podobnie punkt w przestrzeni trójwymiarowej o współrzędnych kartezjańskich $(x,y,z)$ ma współrzędne jednorodne $(x,y,z,1).$

Odwrotnie – punkt właściwy o współrzędnych jednorodnych $(x_1,x_2,\dots x_n,z)$ i $z\ne 0$ ma współrzędne kartezjańskie postaci $(\frac{x_1}{z},\frac{x_2}{z},\dots ,\frac{x_n}{z}).$ Jeśli natomiast $z=0,$ to jest to punkt w nieskończoności i nie istnieją dla niego współrzędne kartezjańskie. Żaden punkt nie może mieć współrzędnych jednorodnych $(0,0,\dots 0,0).$

Dwa układy $(x_1,x_2,\dots x_{n+1})$ i $(y_1,y_2,\dots y_{n+1})$ są współrzędnymi jednorodnymi tego samego punktu, gdy jeden z tych układów jest wielokrotnością drugiego, tj. $x_i=k\cdot y_i$ dla pewnego $k\in ℝ,k\ne 0.$ Inaczej mówiąc, każdy punkt (właściwy lub niewłaściwy) można reprezentować na nieskończenie wiele sposobów we współrzędnych jednorodnych i wszystkie te reprezentacje są do siebie proporcjonalne.

Współrzędne jednorodne zostały wprowadzone do geometrii w 1827 przez Augusta Möbiusa w pracy Der barycentrische Calcul. W 1946 E. Maxwell użył ich do rozwiązywania problemów związanych z rzutowaniem. Są narzędziem do stosowania metod analitycznych w przestrzeniach rzutowych. Ze względu na kilka zalet znalazły też zastosowanie w grafice komputerowej.

Zastosowania w grafice komputerowej

Przekształcenia macierzowe

W roku 1965 L. Roberts zauważył, że współrzędne jednorodne znakomicie nadają się do macierzowego opisu przekształceń w przestrzeniach $n$-wymiarowych.

Podstawowymi przekształceniami stosowanymi w grafice są: skalowanie, obrót, pochylenie i translacja. Zapis macierzowy wszystkich tych przekształceń przedstawia się następująco (przykład dla dwóch wymiarów):

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=A\cdot X+T=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}x+a_{12}y+t_x\\ a_{21}x+a_{22}y+t_y\end{array}\right],$

gdzie macierz $A$ zawiera skumulowane informacje o obrocie, skalowaniu i pochyleniu, natomiast wektor $T$ przesunięcie. Stosując współrzędne jednorodne, można za pomocą macierzy 3x3 przedstawić wszystkie przekształcenia:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ W^{\prime }\end{array}\right]=A\cdot X=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& t_x\\ a_{21}& a_{22}& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ W\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}x+a_{12}y+t_{x}W\\ a_{21}x+a_{22}y+t_{y}W\\ W\end{array}\right].$

Macierz będąca iloczynem dowolnej liczby macierzy reprezentujących różne przekształcenia zawiera złożenie tych przekształceń. Dzięki temu zamiast osobno wykonywać kolejne przekształcenia $x^{\prime }=x\cdot M_1,x^{″}=x^{\prime }\cdot M_2,\dots ,x^{(n)}=x^{(n-1)}\cdot M_n,$ można najpierw wykonać mnożenie odpowiednich macierzy $M=M_1\cdot M_2\cdot \dots \cdot M_n,$ później zaś używać wynikowej macierzy $x^{\prime }=x\cdot M.$ Czyli zamiast wykonywać $n$ mnożeń punktu przez macierze, to samo uzyskuje się jednym mnożeniem punktu przez macierz, dzięki uprzedniemu wykonaniu $n-1$ mnożeń macierzy.

Za pomocą macierzy przekształceń we współrzędnych jednorodnych można także zwięźle opisać rzut perspektywiczny:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ W^{\prime }\end{array}\right]=M\cdot X=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1}{d}& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ W\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ \frac{z}{d}\end{array}\right].$

Przy przejściu na współrzędne kartezjańskie otrzymuje się: ${[\frac{x}{z/d},\frac{y}{z/d},d]}^T.$

Obcinanie

W grafice trójwymiarowej istotnym elementem wizualizacji jest obcinanie sceny trójwymiarowej do tzw. ostrosłupa widzenia. Jest to ostrosłup (dokładnie: ostrosłup ścięty) zdefiniowany przez wirtualną kamerę, w obrębie którego znajdują się obiekty widoczne w danym rzucie. Jednak obcinanie względem ostrosłupa widzenia jest dość skomplikowane obliczeniowo, dlatego można przekształcić ostrosłup widzenia w sześcian. Obcinanie względem sześcianu jest bardzo efektywne, jednak aby po takim przekształceniu zapewnić poprawność wyników, obcinanie musi zostać wykonane we współrzędnych jednorodnych. Jest to powszechnie stosowane podejście w rozwiązaniach sprzętowych.

Także obcinanie wymiernych krzywych B-sklejanych we współrzędnych trójwymiarowych może nie dać prawidłowych wyników, natomiast obcinanie we współrzędnych jednorodnych gwarantuje poprawność wyniku.