Równanie soczewki

Równanie soczewki (zwierciadła) – równanie określające zależność pomiędzy odległością przedmiotu od soczewki a odległością jego obrazu otrzymanego w tej soczewce

$\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y},$

gdzie:

$x$ – odległość przedmiotu od soczewki,

$y$ – odległość obrazu od soczewki,

$f$ – ogniskowa soczewkiSzablon:OdnSzablon:Odn.

Wyprowadzenie

Równanie zwierciadła

Oznaczmy położenie przedmiotu jako $O,$ położenie obrazu jako $I,$ środek krzywizny zwierciadła jako $C,$ środek zwierciadła jako $V$ oraz obierzmy na zwierciadle dowolny punkt $P.$ Kąty pomiędzy nimi oznaczmy jak na rysunku.

Zgodnie z prawem odbicia zachodzi równość

$\alpha ={\alpha }^{\prime }.$

Z sumy miar kątów w trójkącie dostajemy następujące równości:

$\beta +\alpha =\gamma ,$

$\beta +2\alpha =\delta ,$

z czego wynika, że

$\beta +\delta =\gamma -\alpha +\beta +2\alpha =\gamma +\beta +\alpha =2\gamma .$

Używając przybliżeń małych kątów dla promieni przyosiowych, możemy zapisać, że:

$\beta =\frac{PV}{OV},$

$\gamma =\frac{PV}{CV},$

$\delta =\frac{PV}{IV}.$

Podstawiając to do poprzedniego równania, dostajemy:

$\frac{PV}{OV}+\frac{PV}{IV}=2\frac{PV}{CV}.$

Podstawiając wartości $OV=x,$ $IV=y,$ $CV=R$ oraz skracając przez $PV,$ otrzymujemy

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{R}.$

Promienie równoległe do osi skupiają się w ognisku zwierciadła, zatem podstawiając $x\to \mathrm{\infty }$ i $y\to f,$ dostajemy

$\frac{1}{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{f}=\frac{2}{R},$

zatem

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{R}=\frac{1}{f}$Szablon:Odn.

Równanie soczewki

Oznaczmy położenie przedmiotu jako $O$ oraz położenie obrazu jako $I.$

Fala rozchodząca się z punktu $O$ rozchodzi się kuliście. Na rysunku zaznaczono fragment łuku będący czołem fali wychodzącej z $O$ tuż przed i tuż po wejściu do soczewki. Po przejściu przez soczewkę, czoło fali również formuje sferę, aby w równym czasie dojść do punktu $I.$

Wiemy zatem, że wszystkie promienie muszą dotrzeć w tym samym czasie do obrazu. W szczególności, promień $OW{W}^{\prime }I$ musi pokonać swoją drogę w tym samym czasie co $OL{L}^{\prime }I.$ Skoro $OW=OL$ i $W^{\prime }I=L^{\prime }I,$ dostajemy równanie

$W{W}^{\prime }=nL{L}^{\prime }=nd,$

gdzie $n$ to względny współczynnik załamania na granicy soczewka–ośrodek, a $d$ to grubość soczewki.

Odcinek $W{W}^{\prime }$ jest równy $AL+d+L^{\prime }{A}^{\prime }.$ Możemy użyć podstawień $AL=\frac{k}{x}$ i $L^{\prime }{A}^{\prime }=\frac{k}{y},$ gdzie $x,y$ to odległość przedmiotu od soczewki i obrazu od soczewki, a $k$ to pewna stała. Podstawiając to do poprzedniego równania, otrzymujemy

$\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+d=nd.$

Korzystając z faktu, że zarówno $k,$ $n$ i $d$ są stałe i niezależne od zmiennych $x$ i $y,$ możemy dokonać ciągu uproszczeń:

$\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+d=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$

$\frac{k}{x}+\frac{k}{y}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$

Wiedząc o stałości powyższego wyrażenia, możemy zapisać równanie

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{y_1}.$

Promienie równoległe do osi skupiają się w ognisku soczewki, zatem podstawiając $x_1\to \mathrm{\infty }$ i $y_1\to f,$ dostajemy

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{f}.$

Jest to jedno z wielu możliwych wyprowadzeń tego wzoruSzablon:Odn.

Wnioski wynikające z równania soczewki

Ze wzoru można odczytać, że gdy $x\to \mathrm{\infty },$ czyli padające promienie stają się równoległe do osi optycznej, wówczas $y\to f.$ Oznacza to, że promienie po przejściu przez soczewkę skupiają się w odległości $f$ od soczewki, czyli w ogniskuSzablon:Odn. Równanie jest symetryczne ze względu na zamianę $x$ z $y.$ Oznacza to, że można odwrócić bieg promieni i będą poruszały się one po tym samym torze. Jeżeli zatem źródło światła umieszczone zostanie w ognisku, po przejściu przez soczewkę promienie będą równoległe do osi optycznejSzablon:Odn.

Z równania wywnioskować można również, że w przypadku gdy $x<f,$ $y$ staje się ujemne, co oznacza, że obraz powstaje po tej samej stronie soczewki, po której znajduje się przedmiot (jest to obraz pozorny). Podobnie, gdy ogniskowa $f<0$ (w soczewkach rozpraszających), również $y<0$Szablon:Odn.

Zastosowanie

Wzór ten jest tylko pewnym przybliżeniem. Jest on dobrze spełniony dla promieni przyosiowych i w przypadku, gdy soczewka jest cienka w porównaniu z odległościami występującymi we wzorze.

Zazwyczaj używa go się do wyznaczania położenia obrazu, gdy znane jest położenie przedmiotu i soczewki. Obowiązuje on również w przypadku zwierciadeł, z tym że odwrotnie niż dla soczewek, $y$ jest dodatnie, gdy obraz powstaje przed zwierciadłem (obraz rzeczywisty) i ujemne, gdy powstaje za zwierciadłem (obraz pozorny)Szablon:Odn. Dla zwierciadła płaskiego $f\to \mathrm{\infty }$ i z równania soczewki wynika, że $y=-x$Szablon:Odn.

Postać Newtona równania soczewki

Równanie soczewki można również zapisać w postaci Newtona

$x_o{x}_i=f^2,$

gdzie:

$x_o$ – odległość przedmiotu od ogniska,

$x_i$ – odległość obrazu od ogniskaSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj