Proporcja (arytmetyka)

Szablon:Spis treści Proporcja – równość dwóch stosunków postaci

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

lub (inny zapis)

a : b = c : d .

W zapisie tym a i d nazywamy wyrazami skrajnymi, b i c – środkowymi.

Podstawowa własność proporcji mówi, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych:

a d = b c .

Reguła trzech

Jeśli dane są trzy wyrazy w proporcji, czwarty można wyliczyć posługując się wzorami:

a = \frac{b c}{d}, b = \frac{a d}{c}, c = \frac{a d}{b}, d = \frac{b c}{a} .

Wzory te znane są jako reguła trzech. W Europie weszły do użytku w XV-XVII wieku w praktyce kupieckiej.

Proporcje pochodne

Z równania proporcji wynikają także inne proporcje: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d},$ $\frac{d}{b} = \frac{c}{a},$ $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d},$ $\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d},$ $\frac{a + c}{b + d} = \frac{a}{b},$ $\frac{a - c}{b - d} = \frac{a}{b},$ $\frac{a + c}{b + d} = \frac{c}{d},$ $\frac{a - c}{b - d} = \frac{c}{d},$ $\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d},$ $\frac{a - b}{a + b} = \frac{c - d}{c + d},$ prawdziwe pod warunkiem, że dane wyrażenie ma sens (w mianowniku któregoś ułamka nie otrzymamy 0).

Proporcja harmoniczna

Proporcja postaci

\frac{a}{b} = \frac{b}{a - b}

jest nazywana proporcją harmoniczną. Rozkład danej liczby a na dwa składniki: b oraz a – b zgodnie z regułą proporcji harmonicznej nazywa się złotym podziałem lub podziałem harmonicznym.

Proporcja złożona

Zapis postaci

a_{1} : a_{2} : \dots : a_{n} = b_{1} : b_{2} : \dots : b_{n}

oznacza układ równań:

\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \dots = \frac{a_{n}}{b_{n}}

lub równoważnie:

{\begin{matrix} \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \\ \frac{a_{2}}{a_{3}} = \frac{b_{2}}{b_{3}} \\ \dots \\ \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} = \frac{b_{n - 1}}{b_{n}} \end{matrix} .

Zobacz też

Szablon:Wikisłownik

Bibliografia

Szablon:Cytuj książkę

Szablon:Kontrola autorytatywna