Grupa Galileusza

Szablon:Dopracować Transformacje Galileusza

$x^i\to {x^{\prime }}^i=R_j^i{x}^j+v^{i}t+x_0^i,$

$t\to t^{\prime }=t+t_0$

zachowują strukturę czasoprzestrzeni Galileusza, tworzą one grupę Galileusza. Transformacje te są parametryzowane przez macierz obrotu $R_j^i,$ prędkość $v^i,$ translację w przestrzeni $x_0^i$ i czasie $t_0.$

Macierze obrotu same tworzą grupę O(3), spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach

$x^i\to {x^{\prime }}^i=R_j^i{x}^j,$

$\sum _i^3(x^i{)}^2=\sum _i^3({x^{\prime }}^i{)}^2.$

Daje to warunek

$R^{T}R=I,$

gdzie macierz transponowana $(R^T{)}_j^i=R_i^j.$

Ponieważ macierz odwrotna spełnia $R^{-1}R=I,$ to dla grupy obrotów $R^{-1}=R^T.$ W zbiorze macierzy ortogonalnych SO(3) istnieje element neutralny (macierz jednostkowa I), element odwrotny $R^{-1}R=I$ i mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną. Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę. Dodatkowy warunek $\det (R)=1$ definiuje podgrupę obrotów SO(3). Element grupy R można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry (wektor ${\alpha }^i={\omega }^i\psi ,$ oś obrotu ${\omega }^i$ i kąt obrotu $\psi$)

$R=e^{i\sum _a^3{T}^a{\alpha }^a}.$

Trzy macierze $T^a$ nazywamy generatorami grupy obrotów. Grupa obrotów SO(3) jest ciągłą grupą Liego.

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa właściwych transformacji Galileusza

$x^i\to {x^{\prime }}^i=x^i+v^{i}t+x_0^i,$

$t\to t^{\prime }=t+t_0.$

Parametryzowana jest przez 7 parametrów: wektor v translację w przestrzeni i w czasie $T_0.$

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa translacji

$x^i\to {x^{\prime }}^i=x^i+x_0^i,$

$t\to t^{\prime }=t+t_0.$

Podgrupa ta parametryzowana jest przez cztery parametry.

Grupa Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether, gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego, odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez $v.$