Grupa kwaternionów

Tablica na dublińskim moście upamiętniająca odkrycie przez Hamiltona grupy kwaternionów.

Grupa kwaternionów – nieabelowa grupa multyplikatywna rzędu 8, oznaczana symbolem $Q_8$ lub rzadziej $Q$ lub $Quat$, składająca się z następujących elementów: $\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ będących kwaternionami. Generatorami tej grupy są kwaterniony $i$ oraz $j$.

Grupa kwaternionów została odkryta przez Hamiltona w 1843 roku. Matematyk wpadł na ten pomysł podczas spaceru, a główne wzory wyrzeźbił na kamiennym moście w Dublinie.

Grupę kwaternionów można również potraktować jako grupę macierzową będącą podgrupą specjalnej grupy liniowej $SL(2,ℂ)$. Określmy następujące macierze:

$\hat{1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\hat{i}=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right),\hat{j}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),\hat{k}=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)$.

Wtedy zbiór $\{\hat{1},-\hat{1},\hat{i},-\hat{i},\hat{j},-\hat{j},\hat{k},-\hat{k}\}$ tworzy grupę $Q_8$.

W grupie kwaternionów można utworzyć następującą tablicę Cayleya:

$\cdot$	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

Podgrupami grupy kwaternionów są $\{1\},$ $\{1,-1\},$ $\{1,-1,i,-i\},$ $\{1,-1,j,-j\},$ $\{1,-1,k,-k\}$ oraz $\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$. Wszystkie podgrupy tej grupy są normalne.

Ponieważ każda podgrupa nieabelowej grupy $Q_8$ jest normalna, to mówimy, że grupa kwaternionów jest grupą Hamiltona.

Grupa kwaternionów pojawia się w mechanice kwantowej, w teorii spinu elektronu Wolfganga Pauliego, a powyższe macierze nazywane są macierzami Pauliego.